Re: [中學] 無窮級數和

看板Math作者 (～口卡口卡　修～)時間10年前 (2014/05/09 23:32), 10年前編輯推噓3(3推 0噓 22→)
留言25則, 7人參與, 4年前最新討論串5/8 (看更多)
※ 引述《amy29585028 (阿金大人)》之銘言： 今天在FB看到有人分享這個影片， https://www.youtube.com/watch?v=OXV43tm2BnI&feature=share
其中教你如何證明所有的自然數總和1+2+3+...=-1/12 這看似完全不合乎常理的算式竟然可以被證明，真的是很神奇，
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05/09 23:12,
前幾篇文章大家討論的術語都好高深，有白話一點的說
05/09 23:12
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05/09 23:12,
法嗎...
05/09 23:12
--- 恕刪部分原文 我舉一個高中看得懂的例子，來類比原問題 考慮一個 sequence a = (-1, 1, -1, 1, -1,...) a(1) = -1 a(2) = 1 a(3) = -1 讓該數列為 1, -1 跳動 很自然的，我們會寫成 a(n) = (-1)^n for n 屬於 N+ 若有一天，你遇到一個問題，發現 貌似 要算出 a(1/2) 但 a(n) 的 index 只定義在自然數上，怎麼辦? 這時有人想出一個新的函數定義: A(x) := cos(πx) 這個函數很神奇的，不僅可以滿足原題意 並且 A(n) = a(n) for all n in N+ 因此我們就把 a(n) , 用 A(n) 重複定義 所以 a(1/2) := A(1/2) = cos(π/2) = 0 但有些人就是很皮 偏偏把 x=n=1/2 帶入 a(n) 的原本定義 得到以下結論: (-1)^(1/2) = 0 => i = 0 Wow~ That's amazing! 然後開始想盡各種似是而非的推論，來得證 i = 0 ==== 這就是為何會看到各種 1+2+... = -1/12 的荒謬論證 有興趣可以找一下複變函數相關知識 多少會提到 zeta function 是如何被推廣 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.61.82.125 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1399649531.A.60A.html
推
05/10 00:52, , 1F
關鍵字是 Analytic Continuation (解析延拓)
05/10 00:52, 1F
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05/10 00:53, , 2F
其實這種延拓有更好的例子就是階乘跟Γ函數的關係
05/10 00:53, 2F
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05/10 00:54, , 3F
Γ函數就是階乘函數的解析延拓
05/10 00:54, 3F
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05/10 00:56, , 4F
但如果從 Γ(3/2)=√π/2 硬說 0.5!=√π 那就不對了
05/10 00:56, 4F
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05/10 00:58, , 5F
呃, 這個↑忘了寫 /2...
05/10 00:58, 5F
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05/10 01:04, , 6F
(0.5)!好像常看到有人這樣用
05/10 01:04, 6F
推
05/10 08:48, , 7F
很棒的解釋! 完全沒用到中學生難以理解的高等數學
05/10 08:48, 7F
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05/10 18:44, , 8F
感謝詳細解釋，在下略懂略懂了
05/10 18:44, 8F
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05/11 01:34, , 9F
1F 的例子並沒有點到我說的關鍵。 只要 n! 用 Γ(n)
05/11 01:34, 9F
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05/11 01:35, , 10F
重新定義，書寫 (0.5)! 亦無不可; 但若想套入
05/11 01:35, 10F
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05/11 01:36, , 11F
n! 在自然數上的定義，會遇到瓶頸
05/11 01:36, 11F
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05/11 01:36, , 12F
因此我們不會對 (0.5)! 有 "其它錯誤的解讀"
05/11 01:36, 12F
推
05/11 03:22, , 13F
在我看來是一樣的...都是一連串的運算然後"沒有終點"
05/11 03:22, 13F
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05/11 03:22, , 14F
只不過階乘的例子裡這"終點"看得見, 級數的狀況裡
05/11 03:22, 14F
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05/11 03:23, , 15F
這個"終點"看不見而已
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而這"看得見"終點卻又是源自於 0 的不可除性
05/11 03:23, 16F
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05/11 03:24, , 17F
因此其實某種意味上來說我會覺得兩邊是沒有差別的...
05/11 03:24, 17F
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05/11 03:26, , 18F
可能我例子舉的不好, 但Γ函數的性質 Γ(x+1)=xΓ(x)
05/11 03:26, 18F
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05/11 03:27, , 19F
是對任何實數都成立的, 這就給了"硬套"的可能空間了
05/11 03:27, 19F
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05/11 03:28, , 20F
不過確實, 以你這種方式解釋解析延拓的概念比較易懂
05/11 03:28, 20F
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05/11 03:30, , 21F
階乘的例子雖然背後的道理一樣但比較不容易懂
05/11 03:30, 21F
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05/11 03:47, , 22F
話說回來, √π的例子要唬爛也不是沒材料
05/11 03:47, 22F
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05/11 03:47, , 23F
有個知名的π公式叫 Wallis product 的可以拿來用
05/11 03:47, 23F
1 - x + x^2 - x^3 + ... = 1/(1+x) := f(x) => 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2 := f(1) 這個錯誤跟有沒有用 extension 一點關係也沒有 會有錯誤，只是因為 user 搞不清楚 condition 搞不清楚的 user, 在使用 (0.5)! 這個表達式時 就會因為 n! = 1*2*...*n 知難而退了 不會再出現各種誤人子弟的文章 但跟 (0.5)! 用甚麼方法重複定義我認為是兩回事 我前面刻意舉的例子，只是想讓大家可以體會 zeta(-1) = -1/12 是如何被求得 但並非在強調 因為 zeta(-1) = -1/12 而導致 1+2+.. = -1/12 或許我該舉無窮級數這個例子 XD ※ 編輯: doom8199 (210.61.82.125), 05/12/2014 19:19:20
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01/02 15:45, 5年前 , 24F
是對任何實數都成立的, https://muxiv.com
01/02 15:45, 24F
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07/07 12:06, 4年前 , 25F
在我看來是一樣的... http://yaxiv.com
07/07 12:06, 25F
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