Re: [工數] 為什麼重根時要多乘一個t
※ 引述《eolith123 (deer)》之銘言：
: (4) 2 " 4
: y - 2k y + k y = 0 where k is constant
: at
: Let y = e
: 4 2 2 4
: => a - 2k a + k = 0, a = ±k (k,k,-k,-k)
: kt kt -kt -kt
: y = Ae + Bte + Ce + Dte
: 請問為什麼在重根時需要再乘上一個t?
舉個例子好了.
考慮 y''' = 0, 一般解為 y = A + Bt + Ct^2
考慮 y''' - 3y'' + 3y' - y = 0
特徵多項式 = (r-1)^3, 故已知一解 y = e^t
令 y = z*e^t, z = z(t).
代入方程得 z''' = 0, z = A + Bt + Ct^2
故 y = (A + Bt + Ct^2)*e^t.
註: 若引用微分算子的語言, (D-1) y = D z
代入方程得 (D-1)^3 y = D^3 z
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