(一)
(n) (n-1) '' '
解 y + a y + ... + a y + a y + a y = 0
n-1 2 1 0
若特徵方程式的根為 λ ,λ , ... ,λ
1 2 n
原方程式可寫成 (D-λ )(D-λ )...(D-λ )y = 0 D為微分算子
1 2 n
如果根是相異的
λ1t λ2t λnt
則解可以表示成 D 的eigenfunction e ,e , ... ,e 的線性組合
如果有重根
則解可以表示成 D 的 generalized eigenfunction 的線性組合
例如 λ 的重根數為 n
i i n
i
對應的 generalized eigenfunction 需滿足 (D-λ ) x = 0
i
λi t
求出 (D-λ ) x = 0 的解為 e
i 1
藉由 (D-λ ) x = x
i j j-1
可依次解出其他 generalized eigenfunction
λi t
例如 (D-λ ) x = e
i 2
-λi t -λi t λi t
同乘 e 可得 D ( e x ) = 1 可解出 x = t e
2 2
1 j-1 λi t
類似地可得 x = -------- t e
j (j-1)!
(二)
(n) (n-1) '' '
如果把 y + a y + ... + a y + a y + a y = 0
n-1 2 1 0
'
改寫成 Y = A Y
┌ ┐ ┌ ┐
A = │0 1 0 ...... 0 │ Y =│y │
│0 0 1 ..... 0 │ │y' │
│ │ │ │
│..........0 1 │ │ (n-1)│
│-a -a ... -a │ │y │
└ 0 1 n-1┘ └ ┘
-1 -1
將A寫成 jordan form A = Q J Q 且令 Z = Q Y
1
'
可得 Z = J Z ----------- (1)
Jt
其解為 Z = e z
Jt 1 k
z中元素為常數 e = 1 + Jt + ... + ---(Jt) + ...
k!
將J中的對角線元素與非對角線元素分開
Jt (E+N)t Et Nt Et λi t
e = e = e e e 中的元素為 e
Nt j-1
e 中的元素為 t 的形式
---
回到 generalized eigenfunction 的觀點
n1 n2 ni
(D-λ ) (D-λ ) ... (D-λ ) y = 0 的解空間
1 2 i
j
可以 x , (D-λi)x , ... , (D-λi) x , ... 形成一組基底 X
ni ni ni
在此基底之下 D在解空間的 representation 為 J
2
即 D X = X J
2
ni ni-1
y是通解 (D-λ ) y = 0 但 (D-λ ) y ≠0
i i
j k
所以 y , (D-λi)y , ... , (D-λi) (D-λi') y , ...
ni
(依序累積成 (D-λi) 相乘的形式)
形成一組基底 Y
2
存在線性變換P 使得 X = P Y
2
可得 D Y = Y J --------------- (2)
2 2 2
' (n-1)
Y = [ y, y, ... ,y ]
j k
Y = [ y , (D-λi)y , ... , (D-λi) (D-λi') y , ... ]
2
存在一個線性變換R 使得 Y = R Y
2
T
因此 (1)和(2)中 J 應和 J 相同
2
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