Re: [中學] 極限
※ 引述《LPH66 (1597463007)》之銘言：
: ※ 引述《shoeming (修修明)》之銘言：
: : (√1+√2+√3+...+√n)(1√1+2√2+3√3+...n√n)
: : lim ---------------------------------------------
: : 1^3 + 2^3 + 3^3 + ...+ n^3
: : 想用夾擠夾不出來
: : 求解
: n-1 n n
: ∫ √x dx ≦ Σ √i ≦ ∫ √x dx
: 0 i=1 1
: 左邊是黎曼上和, 右邊是黎曼下和; 把積分算出來再做個估計得
: n
: (2/3)(n-1)√(n-1) ≦ Σ √i ≦ (2/3)(n√n - 1) ≦ (2/3)n√n
: i=1
: 同理有
: n
: (2/5)(n-1)^2√(n-1) ≦ Σ i√i ≦ (2/5)(n^2√n - 1) ≦ (2/5)n^2√n
: i=1
: 相乘得
: (4/15)(n-1)^4 ≦ 分子 ≦ (4/15)n^4
: 除以分母 (n(n+1)/2)^2 之後用夾擠即可知極限為 (4/15)/(1/4) = 16/15
如果可以用積分的話,直接積就好囉!
∫x^{1/2}dx*∫x^{3/2}dx
原 = ------------------------- (∫=∫_{0~1})
∫x^3dx
(2/3)(2/5) 16
= ------------ = ----
(1/4) 15
--
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