Re: [微積] 幾題題目請教(台大微積分)
這題如果從黃金分割的方法來解決似乎很快= =
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%84%E9%87%91%E5%88%86%E5%89%B2%E7%8E%87
定義phi=連分數[1;1,1,....]
而題目
Xn= 1
------------
1+ 1
--------
1+ ...
相當於phi-1
也就是(1+sqrt(5))/2 - 1= (-1+sqrt(5)/2
※ 引述《willydp (willyliu)》之銘言：
: ※ 引述《anovachen ( )》之銘言：
: : 2.
: : X_{n+1}=1/[1+X_n]，x_0>0，求
: : lim X_n = ?
: : n->∞
: 用矩陣:
: 把它看成Möbius transformation
: [0 1]
: X_{n+1} = [1 1] X_n
: 那麼 n
: [0 1] [F_{n-1} F_n ]
: X_n = [1 1] X_0 = [F_n F_{n+1}] X_0
: 其中F_n是第n項Fibonacci number
: 所以X_n = (F_{n-1}X_0+F_n) / (F_nX_0 + F_{n+1})
: 令φ= (1+√5)/2,
: 那麼當n -> ∞時, 根據F_n的公式,
: F_n / φ^n -> 1/√5
: F_{n-1} / φ^n -> φ^{-1}/√5
: F_{n+1} / φ^n -> φ/√5
: 因此X_n = [(F_{n-1}/φ^n)X_0 + F_n/φ^n] / [(F_n/φ^n)X_0 + F_{n+1}/φ^n]
: 會趨近 [(φ^{-1}/√5)X_0 + 1/√5] / [(1/√5)X_0 + φ/√5]
: = (X_0 + φ) / (φX_0 + φ^2) = 1/φ = (-1+√5)/2
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