Re: [微積] 幾題題目請教(台大微積分)
※ 引述《anovachen ( )》之銘言：
: 2.
: X_{n+1}=1/[1+X_n]，x_0>0，求
: lim X_n = ?
: n->∞
用矩陣:
把它看成Möbius transformation
[0 1]
X_{n+1} = [1 1] X_n
那麼 n
[0 1] [F_{n-1} F_n ]
X_n = [1 1] X_0 = [F_n F_{n+1}] X_0
其中F_n是第n項Fibonacci number
所以X_n = (F_{n-1}X_0+F_n) / (F_nX_0 + F_{n+1})
令φ= (1+√5)/2,
那麼當n -> ∞時, 根據F_n的公式,
F_n / φ^n -> 1/√5
F_{n-1} / φ^n -> φ^{-1}/√5
F_{n+1} / φ^n -> φ/√5
因此X_n = [(F_{n-1}/φ^n)X_0 + F_n/φ^n] / [(F_n/φ^n)X_0 + F_{n+1}/φ^n]
會趨近 [(φ^{-1}/√5)X_0 + 1/√5] / [(1/√5)X_0 + φ/√5]
= (X_0 + φ) / (φX_0 + φ^2) = 1/φ = (-1+√5)/2
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推
03/03 14:32, , 1F
03/03 14:32, 1F
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