Re: [其他] 基底空間-向量維度的數目該如何判斷？

看板Math作者peterchen119 (PeterChen)時間10年前 (2013/08/25 19:33)推噓6(6推 0噓 84→)

留言90則, 7人參與討論串3/5 (看更多)

※ 引述《peterchen119 (PeterChen)》之銘言： : 題目：請問以下基底為向量空間的幾維度？ : (1) 1 , x , x^2 : (2) 1-x , x , (x^2)-1 : (3) x , x+x^2 , x^2 : (4) 1 , x-1 , x+x^2 , x^2 : (5) x , x^2 : 答案：沒有答案，只能知道(1)為3維度空間向量。 : 小弟實在無法下筆與思考該如何判斷，麻煩版上前輩們能不吝嗇指導，謝謝！前情提要，這題的問題應該改成：【這些向量為基底空間的幾維度】小弟的觀念釐清： V(Vector) 屬於 R^n V 為 R^n 的向量空間 S 屬於 V S = span(B) = 零向量 --- ↑ B=Basic 空集合要形成 S ，一般為向量所(織成)的(線性組合)為零向量 → 一般線性組合為零 = 線性獨立舉例：0*(1,2,3)+0*(1,0,3)=0 → 一般線性組合不為零 = 線性相依舉例：a*(c,d,e)+b*(q,m,n)=(0,1,0)=1 ------------------------------------------------------------------------------ 要判斷是否為該度空間：若V 屬於 R^6 V(1,0,0,0,0,0) 不屬於R^6，為R^1 V(0,1,0,0,0,0) 不屬於R^6，為R^2 V(0,0,1,0,0,0) 不屬於R^6，為R^3 V(0,0,0,0,0,1) 屬於R^6 ------------------------------------------------------------------------------ 何謂基底維度數目：基底最小元素的織成如上述小弟所詢問的題目來講： (1) 1,X,X^2 假設 X=1 , X^2=0 → (1,1,0) X=0 , X^2=1 → (1,0,1) X=0 , X^2=0 → (1,0,0) X=1 , X^2=1 → (1,1,1) 基底元素為：(1,1,0) (1,0,1) (1,0,0) 所以維度數目=3 (2) 1-X , X , X^2 - 1 假設 X=1 , X^2=0 → (0,1,-1) X=0 , X^2=1 → (1,0,0) X=0 , X^2=0 → (1,0,-1) X=1 , X^2=1 → (0,1,-1) 基底元素為：(0,1,-1) (1,0,0) (1,0,-1) 所以維度數目=3 (3) X , X+X^2 , X^2 假設 X=1 , X^2=0 → (1,1,0) X=0 , X^2=1 → (0,1,1) X=0 , X^2=0 → (0,0,0) X=1 , X^2=1 → (1,1,1) 基底元素為：(1,0,0) (0,1,1) 所以維度數目=2 (4) 1 , X-1 , X+X^2 , X^2 假設 X=1 , X^2=0 → (1,0,1,0) X=0 , X^2=1 → (1,-1,1,1) X=0 , X^2=0 → (1,-1,0,0) X=1 , X^2=1 → (1,0,2,1) 基底元素為：(1,0,1,0) (1,-1,0,0) 所以維度數目=2 (5) X , X^2 假設 X=1 , X^2=0 → (1,0) X=0 , X^2=1 → (0,1) X=0 , X^2=0 → (0,0) X=1 , X^2=1 → (1,1) 基底元素為：(1,0) (0,1) 所以維度數目=2 ------------------------------------------------------------------------------ 以上為小弟釐清後的觀念與解答，不知是否正確，麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.35.30.78

→

CaptainH

08/25 19:47, , 1^F

08/25 19:47, 1^F

→

mystyle0704

08/25 20:09, , 2^F

08/25 20:09, 2^F

我最後計算的過程，就是拆解Span(B)的元素，舉例來講：(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) 這些就構成Span(B)的基本元素。這些元素經過線性組合後會為零，也就是Span(B)空集合，亦是線性獨立。但是線性獨立元素之中，要砍掉已經織成的線性組合，也就是剩下的基本元素，這些組成基底的基本元素，就是基底維度的數目。

→

mystyle0704

08/25 20:10, , 3^F

08/25 20:10, 3^F

→

mystyle0704

08/25 20:10, , 4^F

08/25 20:10, 4^F

→

mystyle0704

08/25 20:11, , 5^F

08/25 20:11, 5^F

→

jollic

08/25 20:12, , 6^F

08/25 20:12, 6^F

→

mystyle0704

08/25 20:13, , 7^F

08/25 20:13, 7^F

→

mystyle0704

08/25 20:14, , 8^F

08/25 20:14, 8^F

何謂嚴謹，把一些數學符號組成一大堆讓人看不懂的理論，才叫嚴謹？前面有位前輩CaptainH說我全錯，哪裡錯您知道嗎？麻煩不吝嗇指導！不要連自己的觀念也不清楚，就一句話全錯帶過.........真的很讓人家........ 我PO這篇文章之前，花了三天的時間，看了交大的開放式課程，又看了網路相關資料，又把O'Neil的書仔細看了一遍。你就一句話，全錯帶過.....................實在是................

→

mystyle0704

08/25 20:14, , 9^F

08/25 20:14, 9^F

→

mystyle0704

08/25 20:15, , 10^F

08/25 20:15, 10^F

※ 編輯: peterchen119 來自: 114.35.30.78 (08/25 20:43)

→

CaptainH

08/25 20:47, , 11^F