Re: [其他] 基底空間-向量維度的數目該如何判斷？
※ 引述《peterchen119 (PeterChen)》之銘言：
: 題目：請問以下基底為向量空間的幾維度？
: (1) 1 , x , x^2
: (2) 1-x , x , (x^2)-1
: (3) x , x+x^2 , x^2
: (4) 1 , x-1 , x+x^2 , x^2
: (5) x , x^2
: 答案：沒有答案，只能知道(1)為3維度空間向量。
: 小弟實在無法下筆與思考該如何判斷，麻煩版上前輩們能不吝嗇指導，謝謝！
很抱歉 如果是(1) {1,x,x^2}所span出來的空間也不一定是維度三的向量空間
況且題目問得很奇怪 我猜你的題目是要問這些元素的span所形成的向量空間的維度
可是這樣還不夠!
你要考慮span前 你要跟我說你是從哪個向量空間中挑出來的元素去做span
所以嚴謹來講 這題目是要問：
Let P = {f：R→R│f is a polynomial with real coeffcients}
(P是所有實係數多項式形成的空間，規定domain跟codomain都是實數)
定義加法 ：函數加法
係數積：函數係數積
則我們可以證明：P is a vector space over R
有了這些後，以你的(1)舉例，就是1,x,x^2€P，試求span{1,x,x^2}這個向量空間的維度
之所以要從原本的向量空間取元素，是因為span牽扯到線性組合
線性組合正好需要：向量加法、係數積 更重要的是 係數是屬於哪個field！
你的(1)，講清楚就是：1,x,x^2€P , span{1,x,x^2}是P的3維子空間(當然也是over R)
最後回到我的第一句話：{1,x,x^2}所span出來的空間也不一定是維度三的向量空間
你不要取R，取Z_2={0,1}，這是一個field
但你會發現，let Q = {f：Z_2→Z_2│f is a polynomial with coeffcients from Z_2}
Q over Z_2只會是2維向量空間 (相對於P over R 是無限維向量空間)
所以你的(1)如果1,x,x^2€Q的話，很抱歉，線性相依了，基底都談不上
你可能會覺得考慮那麼多幹嘛...
不過 就是因為沒有講清楚的關係才導致那麼多爭論點與模糊地帶
很多事情你回歸定義看都可以搞清楚
至少可以把問題問得清楚
P.S.
我覺得你非數學系的不要看Q那個例子好了
我只是強調原始向量空間與over什麼field的重要性而已
因為如果我今天定義
Q = {f│f is a polynomial with coeffcients from Z_2}
也就是說 polynomial不看成函數 看成代數定義中的多項式環
則定義加法：各冪次係數相加
係數積：乘進去各冪次係數
則 Q over Z_2 就變成無限維向量空間了
差別在於函數相等的定義與多項式環中元素相等的定義不一樣
前者是把每個多項式看成 f：F→F 的函數，相等的定義就是f(x)=g(x) for all x€F
後者是兩個多項式相等定義成各冪次係數一樣
這兩個要等價的條件是你的field要是infinite field
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