[代數] 一題代數

看板Math作者coolbetter33 (香港3345678)時間11年前 (2013/07/31 03:53)推噓0(0推 0噓 6→)

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寫代數題目想到的問題,考慮 Group G = U(20)= {1,3,7,9,11,13,17,19} 即20以下且與 20互質的正整數集,在mod 20的乘法下為一個群,如圖 http://ppt.cc/xmiM 考慮其3個order2 的子群.A={1,11},B={1,9},C={1,19}.顯然都是同構.但是其中 G/A 和G/B這兩組 factor group 卻不同構.[也是課本的問題] 考慮G/A為一 order4 的群.有3A=13A={3,11},7A=17A={7,17},9A={9,19},A={1,11} 而(3A)^2 = 9A ≠ A,(3A)^4 = A ,知其G/A is cyclic,且同構於 Z_4 http://ppt.cc/XWMC 考慮G/B .3B=7B={3,7},11B=19B={11,19},13B=17B={13,17},B={1,9} 而(3B)^2 =(11B)^2=(13B)^2 = B,知其同構於 Z_2⊕Z_2 [G/B ~ Z_2⊕Z_2] http://ppt.cc/cxLe ------------------------------------------------------------------------------ 而利用external direct product有 U(20) ~ U(4)⊕U(5) ~ Z_2⊕Z_4.其中恰有3個 order 2的子群 ,D = {(1,0)(0,0)},E = {(0,2)(0,0)} F = {(1,2)(0,0)}與A,B,C 分別對應.但仍未知. 若只考慮 (Z_2⊕Z_4)/E ,有 (1,0)E = {(1,2)(1,0)}.(1.3)E = {(1,3)(1,1)}. (0,3)E = {(0,3)(0,1)},和 E = {(0,2)(0,0)},比較order 知其也同構於Z_2⊕Z_2 也就是說,B in U(20) as like E in Z_2⊕Z_4 ,不過這是經過一番計算才知道. 所以我的問題是,Q1有沒有哪個isomorphism理論可以馬上將B轉過去E?就可以用比較幾何的方式去分析商群.Q2還有判斷一元素在群中的定位除了order外,還有其他的方式嗎? 因為order 2 提供的資訊真是太少了. THX -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.171.171.243

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