Re: [中學] 三角恆等式證明
※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言：
: 證明tan10°=(tan20°)(tan30°)(tan40°)
: 想了好久，希望有高手幫忙，感謝。
: 推 PONYINNCCU :如果把20與40改成30-10與30+10，然後用三倍角公式 07/01 00:05
: → PONYINNCCU :不過應該有更好的方法 07/01 00:06
: → tzhau :可是換成 30°加減 這樣還會是三倍角? 07/01 00:16
: 推 PONYINNCCU :10的三倍角 07/01 00:22
: → tzhau :Pony版友可以把利用三倍角的方法寫在板上嗎 謝謝 07/01 00:30
: 推 PONYINNCCU :如果右邊式子全部變成角度是10與30的組合 07/01 00:43
: → PONYINNCCU :右邊式子全部都會是tan10與tan30 07/01 00:44
: → PONYINNCCU :然後把tan30用tan10去表示 07/01 00:44
: → PONYINNCCU :式子會很複雜，希望有其他高手可以有別的角度切入 07/01 00:45
正好我今天想的解跟 PONY 想到的一樣是用三倍角來做
這樣寫會比較簡單:
令 x = tan10度 而 tan30度 = 1/√3
tan30度 - tan10度 1/√3 - x
所以 tan20度 = --------------------- = -----------
1 + tan30度 tan10度 1 + x/√3
tan30度 + tan10度 1/√3 + x
tan40度 = --------------------- = -----------
1 - tan30度 tan10度 1 - x/√3
乘起來 分子分母都是平方差
1/3 - x^2 1 - 3x^2
tan20度tan40度 = ------------- = ----------
1 - x^2 / 3 3 - x^2
而三倍角公式是長這樣: (這可以由和角公式跟兩倍角公式推來)
3tanθ - tan^3 θ
tan 3θ = ------------------
1 - 3tan^2 θ
所以上式如果除以 tan10度 = x 就得到
tan20度tan40度 1 - 3x^2 1
---------------- = ---------- = ---------
tan10度 3x - x^3 tan30度
因此 tan10度 = tan20度 tan30度 tan40度 Q.E.D.
--
LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
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◆ From: 122.118.132.108
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