Re: [微積] 關於高斯積分的問題

看板Math作者 (土狼)時間12年前 (2013/03/23 11:43), 編輯推噓3(3推 0噓 13→)
留言16則, 4人參與, 6年前最新討論串2/3 (看更多)
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03/23 11:33,
我想了一下 還是不太明白... 我們不能得到 x^2+x^2
03/23 11:33
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03/23 11:33,
=r^2 也不能得到 x^2+t^2=r^2, 為什麼x^2+y^2=r^2
03/23 11:33
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03/23 11:34,
的算法沒有問題? 我哪裡想錯了呢?
03/23 11:34
其實這些都是對的 第一個 x^2 + x^2 也可以等於 r^2 但你必須要把這兩個 x 當成不同的變數 因為他們分屬於不同的積分當中 所以都有自己的範圍 而在直角座標當中 倘若你把縱軸的變數名稱不取為 y 而取為 t 得到的結果就是 x^2 + t^2 = r^2 利用 I^2 = ∫ exp[-x^2] dx * ∫ exp[-y^2] dy 這個式子的重點在於 兩者的變數是互相獨立的 dummy variable 所以你喜歡叫 y、t、ㄅ 都可以 r^2 = x^2 + y^2 的這個概念 只是因為過去我們比較熟悉直角座標 所以你可以很快的了解到 x 和 y 的獨立性與正交性進而轉換成極座標 而當變數名稱更改時 這個獨立和正交的特性並不會因此改變 (可以直接相乘就代表之間夾角為 90 度，亦即其正交性) 所以依然是正確的 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.34.133.34
推
03/23 11:52, , 1F
謝謝解答! 所以意思是說 兩個積分相乘 代表它們夾角
03/23 11:52, 1F
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03/23 11:53, , 2F
一定是 90度 所以我們可以利用這個特性得出x^2+y^2=r
03/23 11:53, 2F
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03/23 11:53, , 3F
^2 這樣子嗎?
03/23 11:53, 3F
推
03/23 12:01, , 4F
修改第一句推文: 兩個積分可以直接相乘...
03/23 12:01, 4F
推
03/23 12:12, , 5F
重點是你做變數變換 x=rcos(t), y = rsin(t)
03/23 12:12, 5F
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03/23 12:13, , 6F
把x變成 x(r,t) y變成y(r,t)
03/23 12:13, 6F
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03/23 12:14, , 7F
然後我們去算 |Jacobian determinant| = r
03/23 12:14, 7F
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03/23 12:14, , 8F
這是重積分的變數變換
03/23 12:14, 8F
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03/23 12:14, , 9F
第一個重要的地方是兩個不相干的積分 變成重積分
03/23 12:14, 9F
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03/23 12:14, , 10F
第二個是你對這個重積分做變數變換
03/23 12:14, 10F
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03/23 12:15, , 11F
做那樣的變數變換後自然有x(r,t)^2 + y(r,t)^2 = r^2
03/23 12:15, 11F
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08/13 17:31, , 12F
謝謝解答! 所以意思是 https://muxiv.com
08/13 17:31, 12F
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09/17 15:24, , 13F
重點是你做變數變換 x https://daxiv.com
09/17 15:24, 13F
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11/10 11:33, , 14F
兩個積分可以直接相乘. https://muxiv.com
11/10 11:33, 14F
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01/02 15:19, 7年前 , 15F
兩個積分可以直接相乘. https://daxiv.com
01/02 15:19, 15F
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07/07 10:46, 6年前 , 16F
重點是你做變數變換 x https://noxiv.com
07/07 10:46, 16F
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文章代碼(AID): #1HJIJXvD (Math)
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