[微積] 關於高斯積分的問題

看板Math作者時間12年前 (2013/03/23 11:22), 編輯推噓1(1推 0噓 18→)
留言19則, 6人參與, 6年前最新討論串1/3 (看更多)
exp(-x^2)從0積分到正無限大的積分 我不明白他的證明為什麼可以這樣寫:(以下皆從0~積分到無限大) I=exp(-x^2)dx -------(1) I=exp(-y^2)dy -------(2) I^2=exp(-x^2)dx * exp(-y^2)dy ----(3) 接下來就是xy座標變換到極座標進而解出積分值 我不明白的地方是 (1)和(2)分開來看是獨立的 其中變數要用什麼都可以 可以寫成 exp(-t^2)dt , 不會影響他的積分值 但是到了(3) x和y彼此卻又有相關, x^2+y^2=r^2 我卡在這裡想了很久 , 明明原本是分開獨立的, 但是相乘之後卻又有彼此相關 (因為我們不可能得到 x^2+x^2=r^2, 一定要x^2+y^2,才會得到r^2) 這樣的算法沒有問題嗎? 我的想法哪裡錯了呢? 謝謝各位!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 1.34.149.112
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03/23 11:23, , 1F
x,y是獨立的變數沒錯喔。
03/23 11:23, 1F
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03/23 11:25, , 2F
是阿, 我卡在這裡想了很久, 既然是獨立的, 又如何得
03/23 11:25, 2F
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03/23 11:26, , 3F
到 x^2+y^2=r^2? 這樣是不是隱含不是全然獨立的呢?
03/23 11:26, 3F
推
03/23 11:27, , 4F
是獨立的啊 即使在極座標裡的 x 和 y 也是獨立的變
03/23 11:27, 4F
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03/23 11:27, , 5F
數 就因為獨立且彼此正交才能剛好等於 r^2
03/23 11:27, 5F
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03/23 11:33, , 6F
我想了一下 還是不太明白... 我們不能得到 x^2+x^2
03/23 11:33, 6F
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03/23 11:33, , 7F
=r^2 也不能得到 x^2+t^2=r^2, 為什麼x^2+y^2=r^2
03/23 11:33, 7F
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03/23 11:34, , 8F
的算法沒有問題? 我哪裡想錯了呢?
03/23 11:34, 8F
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03/23 11:46, , 9F
就這個情況，所謂x,y不獨立是說給了個x，就能算出個y
03/23 11:46, 9F
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03/23 11:47, , 10F
但是在連r是多少都不知道的時候，即使有x^2+y^2=r^2
03/23 11:47, 10F
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03/23 11:47, , 11F
(x,y)-->(r,theta), 是兩個自由度換兩個自由度啊
03/23 11:47, 11F
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03/23 11:47, , 12F
也算不出y啊。
03/23 11:47, 12F
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03/23 11:48, , 13F
只是theta部分的積分簡單到你心算掉了都沒感覺XD
03/23 11:48, 13F
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08/13 17:31, , 14F
=r^2 也不能得到 https://muxiv.com
08/13 17:31, 14F
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09/17 15:24, , 15F
到 x^2+y^2=r https://daxiv.com
09/17 15:24, 15F
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11/10 11:33, , 16F
//muxiv.com
11/10 11:33, 16F
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11/10 11:33, , 17F
11/10 11:33, 17F
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01/02 15:19, 7年前 , 18F
x,y是獨立的變數沒錯 https://noxiv.com
01/02 15:19, 18F
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07/07 10:46, 6年前 , 19F
就這個情況，所謂x,y http://yaxiv.com
07/07 10:46, 19F
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文章代碼(AID): #1HJH_fC4 (Math)
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