Re: [中學] 一中100科學班最後一題
※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言：
: 設數列 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,... 前 n 項的和是 f(n)
: 1) 給出 f(n) 的公式
: 2) 證明 f ( s + t ) - f ( s - t ) = st , 其中s和t是正整數 , 並且s > t
分成奇偶討論當然ok
不過如果知道可以利用(-1)^n來表示「跳動」的現象，
可以參考以下這個小的自認「比較科學班」的作法：
先畫圖觀察數列趨勢
a
↑ n
｜ ..'''
｜ ..'''
2 ┼ ● ╳ ●
｜ ..'
｜ ..'''
｜ ...'''
1 ┼ ● ╳ ●
｜ ..:''
｜ ..:'
｜ ..:''
┼─:'─●───┼───┼───┼───┼───┼─→
1 2 3 4 5 6
不難發現，這個數列由兩個部份構成：
一是平均而言，跟著一條向上的趨勢線（斜率為1/2、截距為-1/4）
二是在趨勢線附近上下跳動（跳動幅度為正負1/4)
直接將此觀察轉成數學式，得到
n 1 1 n
a = ─ - ─ + ─ (-1)
n 2 4 4
^^^^^^^ ^^^^^^^^
斜截式 跳動項
之後就輕鬆算：
n n
n n(n+1) n 1 (-1)*[1-(-1) ] 1 2 1-(-1)
f(n) = Σ a = ──── - ─ + ─ ──────── = ─ [n - ────]
k=1 k 4 4 4 1-(-1) 4 2 #
^^^^^^^^^^^^^^^^
等比級數公式，公比(-1)
1 2 2 1 s+t s-t
f(s+t) - f(s-t) = ─ {(s+t) - (s-t) + ─ [(-1) -(-1) ]} = st
4 2 ^^^^^^^^^^^^^^^ #
2t
兩者相差 (-1) = 1 倍，即相等。消掉。
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