Re: [中學] 幾題數學問題
※ 引述《AaaaJ (順其自然)》之銘言：
: AMC 12 2013年的題目
: 20題之後都挺不好算的 想跟板上大大一起討論 ^ ^
: 20.設集合S為{1,2,3,…,19}，對於a,b屬於S，當 0 < a-b ≦ 9 或 b-a > 9 時，
: 以 a☆b 表示。試問S中同時滿足 x☆y , y☆z 且 z☆x 的三元序對(x,y,z)有
: 多少個？
: Ans：855個
x☆y <=> 0 < x-y ≦ 9 or y-x > 9
y☆z <=> 0 < y-z ≦ 9 or z-y > 9
z☆x <=> 0 < z-x ≦ 9 or x-z > 9
∵ y-x > 9, z-y > 9, x-z > 9 三個只能同時有一個成立
(若 y-x > 9 & z-y > 9 => z-x > 18 => z,x無解)
∴ x☆y & y☆z & z☆x
=> y-x > 9 & 0 < y-z ≦ 9 & 0 < z-x ≦ 9
or z-y > 9 & 0 < z-x ≦ 9 & 0 < x-y ≦ 9
or x-z > 9 & 0 < x-y ≦ 9 & 0 < y-z ≦ 9
這三種可能是對稱性的,所以討論一種可能的三元序對(x,y,z)的個數,之後 *3 即是所求
y-x > 9 & 0 < y-z ≦ 9 & 0 < z-x ≦ 9
=> x < z < y & z-x ≦ 9 & y-z ≦ 9 & y-x > 9
z-x y-z (x,y,z)的個數
1 9 9
2 9,8 9+8
3 9,8,7 9+8+7
4 9,8,7,6 9+8+7+6
5 9,8,7,6,5 9+8+7+6+5
6 9,8,7,6,5,4 9+8+7+6+5+4
7 9,8,7,6,5,4,3 9+8+7+6+5+4+3
8 9,8,7,6,5,4,3,2 9+8+7+6+5+4+3+2
9 9,8,7,6,5,4,3,2,1 9+8+7+6+5+4+3+2+1
------------------
9^2+8^2+...+1^2 = 9*10*19/6 = 285
所求 = 285*3 = 855
: 21.設 A = log(2013+log(2012+log(2011+log(…+log(3+log2)…))))，
: 則下列哪一個區間包含A?
: (A) (log2016,log2017) (B)(log2017,log2018)
: (C) (log2018,log2019) (D)(log2019,log2020)
: (E) (log2020,log2021)
: Ans: (A)
: 22.一個10進位且第一個數字不是零的正整數，若這個數的各位數字由左向右讀與
: 由右向左讀都一樣，就稱它為迴文數。隨機選取一個6位數的迴文數n，試問
: (n/11) 仍為迴文數的機率為？
: Ans: 11/30
: 23.正方形ABCD的邊長為√3 + 1，點P在線段AC上使得線段AP長度為√2 。
: 若將正方形ABCD以點P為中心逆時針旋轉90度所掃過的面積為 (aπ+b)/c，
: 其中a,b,c為正整數，且三數的最大公因數gcd(a,b,c)=1，則a+b+c=？
: Ans:19
: 24.以正12邊形的頂點為端點的所有線段，隨機選取三條相異線段，試問這三條
: 線段的長度可以構成一個三角形的機率為？
: Ans: 223/286
: 25.設f：C→C 定義為f(z)= z^2 + iz + 1。試問有多少個複數z，滿足z的虛部大於0
: 且f(z)的實部與虛部的絕對值都是至多為10的整數？
: Ans:399
: 謝謝大大們共襄盛舉 ^ ^
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◆ From: 111.252.206.172
推
03/03 14:54, , 1F
03/03 14:54, 1F
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