Re: [中學] 幾題數學問題
※ 引述《AaaaJ (順其自然)》之銘言：
: AMC 12 2013年的題目
: 20題之後都挺不好算的 想跟板上大大一起討論 ^ ^
: 20.設集合S為{1,2,3,…,19}，對於a,b屬於S，當 0 < a-b ≦ 9 或 b-a > 9 時，
: 以 a☆b 表示。試問S中同時滿足 x☆y , y☆z 且 z☆x 的三元序對(x,y,z)有
: 多少個？
: Ans：855個
: 21.設 A = log(2013+log(2012+log(2011+log(…+log(3+log2)…))))，
: 則下列哪一個區間包含A?
: (A) (log2016,log2017) (B)(log2017,log2018)
: (C) (log2018,log2019) (D)(log2019,log2020)
: (E) (log2020,log2021)
: Ans: (A)
: 22.一個10進位且第一個數字不是零的正整數，若這個數的各位數字由左向右讀與
: 由右向左讀都一樣，就稱它為迴文數。隨機選取一個6位數的迴文數n，試問
: (n/11) 仍為迴文數的機率為？
: Ans: 11/30
: 23.正方形ABCD的邊長為√3 + 1，點P在線段AC上使得線段AP長度為√2 。
: 若將正方形ABCD以點P為中心逆時針旋轉90度所掃過的面積為 (aπ+b)/c，
: 其中a,b,c為正整數，且三數的最大公因數gcd(a,b,c)=1，則a+b+c=？
: Ans:19
: 24.以正12邊形的頂點為端點的所有線段，隨機選取三條相異線段，試問這三條
: 線段的長度可以構成一個三角形的機率為？
: Ans: 223/286
: 25.設f：C→C 定義為f(z)= z^2 + iz + 1。試問有多少個複數z，滿足z的虛部大於0
: 且f(z)的實部與虛部的絕對值都是至多為10的整數？
: Ans:399
若假設 z = x+yi 去算，會有 (1) |x^2 - y^2 + xy + 1| 為整數且≦10
(2) |2xy+y| 為整數且≦10
但這樣討論反而很複雜
不妨假設 z^2 + iz + 1 = a + bi ， a,b為整數，且|a|,|b|≦10
則直接公式解，有 z = [-i ±√( 4a-5 + 4bi )]/2
回到題目，條件有 Im(z)>0
所以 Im ([-i ±√( 4a-5 + 4bi )]/2) > 0
=============
其中要求出√( 4a-5 + 4bi)的虛部。假設 √( 4a-5 + 4bi) = m + ni
∴ m^2 - n^2 = 4a-5
2mn = 4b
∴ n = √{[(m^2 + n^2) - (m^2 -n^2)]/2}
= {√{√[(4a-5)^2 + (4b)^2] - (4a-5)}/2}
==============
代回 Im(z) > 0
所以 {√{√[(4a-5)^2 + (4b)^2] - (4a-5)}/2} - 1 > 0
→ {√{√[(4a-5)^2 + (4b)^2] - (4a-5)}/2} > 1
→ √[(4a-5)^2 + (4b)^2] - (4a-5)} > 2
→ √[(4a-5)^2 + (4b)^2] > 2 + 4a - 5
平方
→ (4a-5)^2 + (4b)^2 > (4a-3)^2
整理得關鍵條件 b^2 > a-1
最後討論(a,b)
-10 ≦ a ≦ 0 , b有21種選擇
a ＝ 1 , b有20種選擇
2 ≦ a ≦ 4 , b有18種選擇
5 ≦ a ≦ 9 , b有16種選擇
a ＝ 10 , b有14種選擇
所以加總後，為399
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.244.138
※ 編輯: FAlin 來自: 140.112.244.138 (02/25 12:59)
推
02/25 23:06, , 1F
02/25 23:06, 1F
討論串 (同標題文章)