Re: [微積] 幾題微積分

看板Math作者 ( )時間13年前 (2013/02/14 01:45), 編輯推噓1(1推 0噓 8→)
留言9則, 3人參與, 最新討論串12/22 (看更多)
※ 引述《tokyo291 (工口工口)》之銘言： : ∞ x : 3.∫------------dx : 0 exp(2πx)-1 假裝可以這樣算.. ∞ x exp(-2πx) ∫----------------dx 0 1 - exp(-2πx) ∞ ∞ =∫x exp(-2πx)Σexp(-2nπ)dx 0 n=0 ∞ ∞ = Σ ∫x exp(-2π(n+1)x) dx (*) n=0 0 ∞ = Σ 1/(2π(n+1))^2 n=0 = 1/4π^2 Σ1/n^2 = 1/24 不過我不知道怎麼驗證 (*) 那個等號 XD : 2和3試過分部積分和變數變換,但是都越來越醜QQ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.166.46.181 ※ 編輯: suhorng 來自: 118.166.46.181 (02/14 01:45) ※ 編輯: suhorng 來自: 118.166.46.181 (02/14 01:51)
推
02/14 01:50, , 1F
可以請問第二個等號的summation是怎麼得到的嗎?
02/14 01:50, 1F
→
02/14 01:53, , 2F
用 1/(1-t) = 1 + t + t^2 + t^3.. 展開 t=e^(-2πx)
02/14 01:53, 2F
→
02/14 02:03, , 3F
(*)是因為n和x無關所以可以分開計算嗎?
02/14 02:03, 3F
→
02/14 02:04, , 4F
(*)式的問題在要驗證積分跟summation可以交換
02/14 02:04, 4F
→
02/14 02:05, , 5F
但是我不會均勻收斂那部份..
02/14 02:05, 5F
→
02/14 09:58, , 6F
放心吧Fubini用下去沒在怕的 反正加絕對值後都可積
02/14 09:58, 6F
→
02/14 09:58, , 7F
他每項都正的 根本沒這個問題
02/14 09:58, 7F
→
02/14 10:00, , 8F
summation可視為counting measure的積分
02/14 10:00, 8F
→
02/15 00:42, , 9F
也可以用Lebesgue monotone convergence啦...
02/15 00:42, 9F
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