Re: [微積] 黎曼和
※ 引述《smartlwj (下次再努力)》之銘言：
: 請問 n^3 1
: lim Σ ------- 為何?
: n→∞ k=1 n^2 + k
: 我的想法是用黎曼和來做
: 把區間分成 n^3 所以就把 1/(n^2 + k) 提出 1/n^3
: 得到 1/(1/n + k/n^3) * (1/n^3)
: 然後接下來就不知道該怎麼辦了...
: 請指引我一下該怎麼做，謝謝
推廣一下:
[n^b] 1
lim Σ ------- = ∞ ,當b≧1,a為任意實數 且 b>a
n→∞ k=1 n^a + k
pf:
觀察1/x在(n^a+1)~(n^a+[n^b])的面積:
發現
n^a+[n^b] [n^b] 1
∫1/x dx ≦ Σ -------
n^a+1 k=1 n^a + k
當n≧2:
n^a+[n^b] n^a+[n^b] [n^b]-1
∫1/x dx =ln(----------) = ln(1+ ---------)
n^a+1 n^a+1 n^a+1
n^b-2
≧ln(1+ --------) →∞ 當n→∞
n^a+1
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