Re: [分析] dense
※ 引述《caron0225 (淯仔)》之銘言：
: 令 f_k:R^n-->R^m 是一個連續函數sequence;並且 pointwise converge 在整個R^n上
: 定義集合
: B= ㄇ_e U_k int[ㄇ_j{|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}]
: 這裡的 ㄇ指交集, U指聯集, int指interior, 下標 e,k,j 都是從 1~infinity
: 請問如何證明 B is dense in R^n ??
: 想了超級久...還是一直遇到瓶頸!!!
: 請版上大大解答
: P.S 抱歉不太會用符號編輯器...
先固定一個e, 然後我先研究
U_k ㄇ_j{|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}
先固定一個open ball U在R^n中
對每個點x在closure(U)中, 根據convergence, exists k such that
|f_k(x) - f_{k+j}(x)| <= 1/e for all j >= k
因此
U_k ㄇ_j{|f_k-f_(k+j)|<= 1/e} ㄇ closure(U) = closure(U)
用Baire category theorem (因為closure(U)是complete metric space)
必然有某個k, 使得
int[ㄇ_j{|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}ㄇcloure(U)] = nonempty
因為U是open ball, subset有nonempty interior
=>可以找到一個 V, 它在int[ㄇ_j{|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}ㄇcloure(U)]之中
而且V在R^n中open, (先找一個closure(U)的open set, 然後縮小它讓它在R^n中也open)
此時V就會完全掉在U裡面, 而不會碰到U的boundary
因此
(U_k int[ㄇ_j {|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}])ㄇU
= U_k (int[ㄇ_j {|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}]ㄇU)
is nonempty.
這代表,
U_k int[ㄇ_j {|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}]
這個集合是dense, 而且open
最後再用一次Baire category theorem, 把e跑過取intersection, 每個都是dense, open
所以最後的intersection也是dense.
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.166.202.60
→
11/22 20:23, , 1F
11/22 20:23, 1F
※ 編輯: willydp 來自: 118.166.202.60 (11/22 20:40)
※ 編輯: willydp 來自: 36.225.1.51 (11/22 21:24)
※ 編輯: willydp 來自: 36.225.1.51 (11/22 21:27)
推
11/22 23:59, , 2F
11/22 23:59, 2F
推
11/23 00:05, , 3F
11/23 00:05, 3F
推
11/23 03:46, , 4F
11/23 03:46, 4F
討論串 (同標題文章)