[微積] 極限值

看板Math作者 (推理要在晚餐後)時間13年前 (2012/05/05 21:07), 編輯推噓1(1推 0噓 28→)
留言29則, 6人參與, 最新討論串4/9 (看更多)
某職校課本題目 n __________ n ____________________ lim √3^n + 5^n = lim √5^n [ (3/5)^n + 1 ] n→∞ n→∞ n ______________ = lim √5^n [ 0 + 1 ] ( n→∞，(3/5)^n→0 ) n→∞ n ____ = lim √5^n = 5 n→∞ 但我覺得紅色那行有問題，我覺得應該使用夾擠定理比較正確 n 利用 5^n < 3^n + 5^n < 5^n + 5^n 以及 lim √k = 1 ， k > 0 n→∞ 不過顯然超出高職生程度，還請高手賜教，謝謝。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.140.232.131
推
05/05 21:36, , 1F
的確有問題。取極限要一次取，不能先對函數的一部份
05/05 21:36, 1F
→
05/05 21:37, , 2F
取，再對剩下的部份取。但是，利用極限的product
05/05 21:37, 2F
→
05/05 21:37, , 3F
rule，還是可以解決這個問題。因為「5^n開n次根號」
05/05 21:37, 3F
→
05/05 21:38, , 4F
與「(3/5)^n + 1開n次根號」當n→∞時，極限都存在。
05/05 21:38, 4F
→
05/05 21:40, , 5F
因此，原函數的極限值會等於這兩個函數分別求極限之
05/05 21:40, 5F
→
05/05 21:40, , 6F
後再相乘。
05/05 21:40, 6F
→
05/05 21:44, , 7F
另外，若想使用夾擠定理，你不等式兩方的極限值會相
05/05 21:44, 7F
→
05/05 21:44, , 8F
等嗎？
05/05 21:44, 8F
→
05/05 22:07, , 9F
都是5
05/05 22:07, 9F
→
05/05 22:15, , 10F
如果函數爆掉，就沒啥好說的了，因此我就當這個不等
05/05 22:15, 10F
→
05/05 22:15, , 11F
式的兩方都已經開了n次根號。但，即使開了n次根號，
05/05 22:15, 11F
→
05/05 22:16, , 12F
n√(5^n)也不會等於n√(2．5^n)啊。
05/05 22:16, 12F
→
05/05 22:23, , 13F
lim n√(2．5^n) = lim n√2 *5 = 5lim n√2 = 5
05/05 22:23, 13F
→
05/05 22:24, , 14F
一開始我也弄不出來...
05/05 22:24, 14F
→
05/05 22:24, , 15F
n√(2．5^n)取極限 = 5 (2開無限次方=1)
05/05 22:24, 15F
→
05/06 02:04, , 16F
推文2~5樓有錯誤，按此邏輯 n→∞,[1+(1/n)]^n=1
05/06 02:04, 16F
→
05/06 15:59, , 17F
lim{(5^n+3^n)^(1/n),n→∞}=
05/06 15:59, 17F
→
05/06 16:00, , 18F
=exp{lim{ln{(5^n+3^n)^(1/n)},n→∞}}
05/06 16:00, 18F
→
05/06 16:03, , 19F
=exp{lim{(1/n)ln{5^n‧(1+(3/5)^n)},n→∞}}
05/06 16:03, 19F
→
05/06 16:05, , 20F
=exp{lim{(1/n){n‧ln(5)+ln(1+(3/5)^n)},n→∞}}
05/06 16:05, 20F
→
05/06 16:06, , 21F
=exp{lim{ln(5)+(1/n)‧ln(1+(3/5)^n)},n→∞}}
05/06 16:06, 21F
→
05/06 16:09, , 22F
顯然，lim{(1/n)‧ln(1+(3/5)^n)},n→∞}}=0，所以
05/06 16:09, 22F
→
05/06 16:10, , 23F
=exp{ln(5)}=5，故極限值為5
05/06 16:10, 23F
→
05/06 16:13, , 24F
以上，exp{}表示自然指數函數，ln{}或ln()表示自然對
05/06 16:13, 24F
→
05/06 16:16, , 25F
數函數，第一條到第二條等式，極限動作可以放到指數
05/06 16:16, 25F
→
05/06 16:16, , 26F
函數內執行，是因為exp為連續函數
05/06 16:16, 26F
→
05/06 21:39, , 27F
「按此邏輯 n→∞,[1+(1/n)]^n=1」的理由是？
05/06 21:39, 27F
→
08/13 16:50, , 28F
「按此邏輯 n→∞,[ https://noxiv.com
08/13 16:50, 28F
→
09/17 14:46, , 29F
取，再對剩下的部份取。 https://daxiv.com
09/17 14:46, 29F
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