Re: [工數]一題卡很久的高階ODE...
※ 引述《storange (我是誰?)》之銘言：
: y''- ay/x^2 = 0
: 其中a是常數項
: 邊界條件分別是 x=kR y=0
: x=R y=w
: 我試過令 y = exp(mx) 去化簡
: 可是分母的平方項讓我整個卡住了orz
: 希望有神人能幫我解出答案~~謝謝!!!
同乘以 x^2 得 x^2 * y'' - ay = 0
令 y = x^m , y' = m * x^(m-1) , y'' = m * (m-1) * x^(m-2)
代入得 (m * (m-1) - a)x^m = 0
m * (m-1) - a = 0
a = (1 + √(1 + 4a)) / 2 & (1 - √(1 + 4a)) / 2
解二:exp 代換
令 x = exp(t) , t = ln(x)
dx/dt = exp(t) = x , dt/dx = 1/x
y' = dy/dx = dy/dt * dt/dx = dy/dt * 1/x
y'' = dy'/dt = ... = (d^2 y/dt^2 - dy/dt)/x^2
令y = exp(m * t)
換掉得 m^2 - m - a = 0
m = (1 + √(1 + 4a)) / 2 & (1 - √(1 + 4a)) / 2
y = C1 * exp(a * t) + C2 * exp(-a * t) = ...
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肝不好 ▁▁ ● ◤ 肝若好
人生是黑白的 ▏ ◤ 考卷是空白的
▏ ◤ 、 ﹐
● ●b 囧 ▎ ●> ● ◤ ▌ ﹍﹍ ０ ▊囧＞ 幹...
▲ ■┘ ■ ▎ ■ █◤ ▌ ㄏ▋ ︶■
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