Re: [微積] 積分面積為負??

看板Math作者herstein (翔爸)時間12年前 (2012/04/15 19:12)推噓4(4推 0噓 15→)

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Q1.面積會不會有負? A:面積定義為非負的數，所以不為負數。 Q2.不然你對物體做負功時怎麼辦，微積分不能用了嗎? A:負功跟面積是兩種不同的觀念。 Q3.如果要求f(x)=(x+1)(x-1)和x軸所圍出的面積時，是否要使得面積為正? A:YES。你如果要求面積的話，你必須求|f(x)|的積分，而不是f(x)的積分。說明:雖然黎曼積分的概念是來自於求面積，但是黎曼積分積出了的並不是函數圖形與x包夾出來的面積。他是某種無窮求和的過程。 Q4:就說要看你對面積的定義是什麼，能不能有方向性。 A:面積不會有方向性。有向面積是面積+方向性的產物。所以有向面積的概念比面積多了方向性的觀念。單純講面積就是一個非負的數。推 doom8199 :數學上的面積定義不是都≧0嗎, 我覺得不能跟物理上 04/15 10:25 → doom8199 :的做功混為一談。就像物理上的平移量可以是負值 04/15 10:26 doom8199說的是正確的。 condensed:在三維歐氏空間中，兩向量的外積，就能定義出有方向性的面積向量了。這其實是一種二階反對稱張量，當然是可以有方向性的。說明:我們只是把外積拿來做這樣的理解，但並非把外積拿來當作面積。反對稱張量未必要有方向性的概念。只要滿足T_ij =-Tji的二階張量就稱為反對稱張量。而方向性在數學中精確的定義是基底族的某種等價類。而二階反對稱張量的定義並不仰賴於這種等價類的概念。 condesned:至於長度，這在數學上又是另一概念。它指的是透過度規張量，將向量映射到 R^1所得的值。說明:相對論中的度規張量是假的。雖然它看起來很像度規張量。一般來說metric tensor 要求正定。物理學家在相對論中省略了pseudo-Riemannian的字眼，因為大家在相對論中的約定metric tensor為pseudo-Riemannian metric tensor。這是屬於相對論的特殊用法，但一般來說，我們不會稱非正定的二階對稱張量為metric tensor。 condensed: 這怎麼能和張量混為一談了。在Minkowski時空中，兩點間的距離可以小於或等於零。說明:距離函數是不會有兩點距離小於零的這回事。Minkowski space他並不是metric space但他是pesudo-metric space(偽賦距空間或仿賦距空間) condensed:怎能說沒有負值？我拿物理當例子，只是方便板友理解。和物理定律如何根本無關。物理上能用，就是因為相應的數學是正確的。說明:數學是透過精確的定義建立起來的學問，所以定義必須要非常精確。或許概念是從某個地方來，但在某時候，如果定義給人產生了誤解，你就必須要更進一步的給出精細的定義直到不產生誤解為止。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 88.77.140.115 ※ 編輯: herstein 來自: 88.77.140.115 (04/15 19:26)

推

Lindemann

04/15 19:35, , 1^F

04/15 19:35, 1^F

推

condensed

04/15 19:42, , 2^F

04/15 19:42, 2^F

Yes,定義問題

→

condensed

04/15 19:44, , 3^F