Re: [微積] 積分
※ 引述《shareing ( )》之銘言：
: 1
: ∫ (x/2)*{ln [(1+x)/(1-x)]} = ?
: -1
: 完全沒有idea
: 不知道要怎下手
: 有想過換成複數座標去積
: 但想不出來
: 懇請各位幫忙
1 1 1
I = ---[∫ x㏑(1+x) dx - ∫ x㏑(1-x) dx]
2 -1 -1
令 1+x = u, x = u-1, dx = du
1-x = v, x = 1-v, dx = -dv
1 2 0
=> I = ---[∫ (u-1)㏑u du - ∫ (1-v)㏑v (-dv)]
2 0 2
1 2 2 2 2
= ---[∫ u㏑u du - ∫ ㏑u du + ∫ v㏑v dv - ∫ ㏑v dv]
2 0 0 0 0
2 2 2 2
其中∫ u㏑u du = ∫ v㏑v dv, ∫ ㏑u du = ∫ ㏑v dv
0 0 0 0
2 2
=> I = ∫ u㏑u du - ∫ ㏑u du
0 0
1 2 ｜2
= ---∫ ㏑u d(u^2) - (u㏑u - u)｜
2 0 ｜0
1 ｜2 1 2 1 ㏑u ｜
= --- * u^2 * ㏑u｜ - ---∫ u^2 * --- du - (2㏑2 - 2 - -----｜ + 0)
2 ｜0 2 0 u 1 ｜
--- ｜
u ｜u=0
1 ｜
--- ｜
㏑u ｜ 1 ｜2 u ｜
= 2㏑2 - -----｜ - --- * u^2｜ - 2㏑2 + 2 + -----｜
1 ｜ 4 ｜0 -1 ｜
--- ｜ --- ｜
u^2 ｜u = 0 u^2 ｜u = 0
1 ｜
--- ｜
u ｜
= - -----｜ - 1 + 2 - 0
-2 ｜
--- ｜
u^3 ｜u = 0
= - 0 + 1
= 1
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.34.133.34
→
11/16 00:20, , 1F
11/16 00:20, 1F
推
11/16 00:31, , 2F
11/16 00:31, 2F
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