[微積] lim sin(x)/x

看板Math作者doom8199 (～口卡口卡　修～)時間14年前 (2011/10/04 08:13)推噓2(2推 0噓 38→)

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#1EY71w0u □ [微積] 有一題證明題有人可以幫我嗎? 因為看到這篇文章中版主大大的推文想提出一個看法和一個疑惑點 <1> 『 sin(x) 能不能用 L'Hopital's rule 解 lim ─── ? x→0 x 』我認為可以理由是考慮以下兩個命題 : 『 d A: ── sin(x) = cos(x) dx 』『 sin(x) B: lim ─── = 1 x→0 x 』接著 " A→B " 是 true , 因為 L'Hopital's rule + lim 性質 " B→A " 是 true , 因為三角函數的和角公式 + lim 性質所以可推論出 A iff B 因此只要利用以上結論之外的其它任何推論可以論證出 "A 是 true" 或 "B 是 true" 那就代表命題 A 和 B 皆為 true 例如用了一些方法 (像是 Squeeze thm.) 證明 B 是 true 且 "B→A" 的推論也知道了那用 L'Hopital's rule 來補 "A→B" 那塊的真偽我認為沒甚麼不行當然在邏輯上　　　　自己都已經知道 B 為 true 用 A→B 來得到 B 的真偽蠻畫蛇添足的 -------------- <2> 話是這麼說但有個讓我 confuse 的點那就是我上網有查到一篇資料: http://johnmayhk.wordpress.com/2010/02/27/circular-argument-on-sinx-over-x/ sin(x) 上面寫說證明 lim ─── = 1 本身就會犯循環論證 x→0 x 原因是考慮以下兩命題 : 『 sin(x) B: lim ─── = 1 x→0 x 』『 2 C: 半徑為 r 的圓面積 = πr 』 "C→B" 和 "B→C" 可以很簡單就推論出是 true 但問題是怎麼證明 "B 是 true" 或 "C 是 true" ? 或是有沒有辦法不利用圓面積公式證明出 sin(x) < x < tan(x) if 0<x<π/2 ? 或是有其它方式可以證明命題 B 是對的 ? 因為以前不會想那麼細所以很想把這一塊的思路整理清楚麻煩大家解惑一下多謝～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.211.139

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Sfly

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※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.139 (10/04 08:24)

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