Re: [幾何] 三角形
※ 引述《ilway25 (Nick)》之銘言：
三角形 ABC
D 為 BC 上一點, 且 BD = 1, DC = 2, 2角BAD = 角DAC
求 AC 最短時，sin BAD = ?
推
08/15 14:07,
08/15 14:07
本來用lagrange求極值，發現微分後很複雜
想要座標化時，無意中發現輔助點
稍改一下題目：
ΔABD 滿足 C 在 BD 上，且 BC=1、CD=2
∠BAC=α、∠CAD=2α
http://ppt.cc/4Wm4
SOL):
step1. AD、AC、AB 關係
令 AD=a、AC=b、AB=c
由三角形面積公式、和底邊比知
0.5 a b sin2α = 2×0.5 b c sinα => c = a cosα
0.5 a c sin3α = 3×0.5 b c sinα => b = a(1- (4/3)sin^2 α)
step2. 輔助點
找 E 滿足 AE=a(=AD) 且 E = AE∩BD
(簡單點就是由AC方向，將C延伸到E，長度為a)
∵ AB = a cosα ∴ AB⊥BE
∵ ∠BAE=α、AE=a ∴ BE = a sinα
∵ ∠EAD=2α、AD=AE=a ∴ DE =2a sinα
∵ AE=a、AC=a(1-(4/3)sin^2 α)
∴ CE = a (4/3)sin^2 α
step3. 餘弦定理與配方法
∵ EB:ED=CB:CD=1:2
∴ EC 為 ∠BED 之角平分線，∠BEC=∠CED(找A在DE的垂線馬上解決)
方便計算，不妨令x=sinα
∠BEC=∠CED，由餘弦定理知
(ax)^2 + ((4/3)x^2)^2 - 1^2 (2ax)^2 + ((4/3)x^2)^2 - 2^2
--------------------------- = ----------------------------
2．ax ．a(4/3)x^2 2．2ax ．a(4/3)x^2
1
=> a^2 = ---------------
(-8/9)x^4 - x^2
當 x^2 = 9/16 時，(-8/9)x^4 - x^2 有極大值、 a 有極小值
(這裡a、x=sinα恆正，不用討論負號問題)
所以所求a=AD最小值時，x=sinα=3/4
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找到輔助點E後，正餘弦簡單解
不然用Lagrange multiplier會算到煩，一直找不到好的限制式
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 163.19.167.174
推
08/18 12:59, , 1F
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