Re: [數論] 證 71111288889 是平方數

看板Math作者PaulErdos (My brain is open)時間14年前 (2011/05/20 13:11)推噓4(4推 0噓 2→)

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※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言： : ※ 引述《kyoiku (生死間有大恐怖)》之銘言： : : 已知 729 = 27^2，71289 = 267^2。 : : 試證：71111288889 是某正整數的平方。 : (30 - 3)^2 = 729 : (300 - 33)^2 = 71289 : (3000 - 333)^2 = 7112889 : (30000 - 3333)^2 = 711128889 : (300000 - 33333)^2 = 71111288889 : 好奇妙，為啥會這樣，@@? 展開成 2 2 30 － 2*3*30 ＋ 3 2 2 300 － 2*33*300 ＋ 33 2 2 3000 － 2*333*3000 ＋ 333 . . . 2 先看前兩項先不管後面那 333...3 30(30－2*3) ＝ 30(30－6) ＝ 30*24 ＝720 300(300－2*33) ＝ 300(300－66) ＝ 300*234 ＝70200 3000(3000－2*333) ＝ 3000(3000－666) ＝ 3000*2334 ＝7002000 30000(30000－2*3333)＝30000(30000－6666)＝30000*23334＝700020000 為什麼會這樣呢? 把 24,234,2334,23334,... 看成 23＋1,233＋1,2333＋1,..... 而233...33 * 3 很明顯就是 699...99 於是 233...34 * 3 就會是700...02 再把3後面的0補上就有 720,70200,7002000, ..... 2 2 現在再來看 3 , 33 , .... 算出來就是 9,1089,110889,11108889,... 為什麼呢? 33333...33 n個3 x 33333...33 ─────────── 99999...99 99999...99 . . 99999...99 ─────────── 與其算那麼多九不如先變成 100000...00 100000...00 . . . 100000...00 100000...00 ─────────── 111111...1100000...00 現在扣回來就有 111111...1100000...00 － 11111...11 ───────────── 111111...1088888...89 於是 2 (30－3) ＝ 720＋9＝729 2 (300－33) ＝70200＋1089＝71289 2 (3000－333) ＝7002000＋110889＝7112889 2 (30000－3333) ＝700020000＋11108889＝711128889 . . . -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.4.182

推

Belanice

05/20 15:34, , 1^F

05/20 15:34, 1^F

→

PaulErdos

05/20 15:40, , 2^F

05/20 15:40, 2^F

推

hotking

05/20 18:07, , 3^F

05/20 18:07, 3^F