Re: [複變] 複變積分3題
最後一題
答案就是 1/(z^2 + 4) 在 2i這個simple pole的residue再乘上2*pi*i
而為什麼呢
完蛋了 我不會用這個畫圖拉= =
我試著用文字表達：
你畫一條x+y=1的線
然後以i為圓心
r為半徑畫一個半圓
而記住這半圓是傾斜45度的
如果不懂我在講啥
你就把x+y=1想成x軸 i想成原點 畫一個半徑為r的半圓
之後要幹嘛勒~~
就是去求這個半圓的線積分(逆時針)
根據C.I.F
這個半圓的線積分就是2*pi*i*Res[1/(z^2+4);2i] = pi/2
而半圓的線積分是 (x+y=1沿著x正向的線積分)+(逆時針繞外圍半圈的線積分)
如果我能證明
當r飆到無限大時 後者的積分趨近於零
我就能說原積分收斂至pi/2
所以現在估計後者
你令z=i+re^it , -pi/4 =< t <= 3pi/4
所以後者的積分就會是
3pi/4
S ‧‧‧blabla
-pi/4
你會發現分母的r比分子高一次
嚴格證明寫一寫就能說當r趨近於無限大時 這項是趨近於0
可是嚴格來說
你只能說pi/2是原題目所要的歌西主值(Principal value)
因為你是取特定的區間去求值的
可是瑕積分收斂是要用"任一方式"來逼近兩邊的無限大
所以要嚴謹來說
你還需要先證明原題目瑕積分是收斂的
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04/24 22:18, , 1F
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