Re: [微積] 一題高微
※ 引述《eric80520 (freejustice)》之銘言：
: 題目 Suppose that {ak} is a decreasing sequence of real numbers.
: ∞
: Prove that if Σak converges, then kak→0 as k→∞.
: k=1
: 我目前會的
: ∞
: since Σak converges,so ak→0 as k→∞
: k=1
: by {ak} is decreasing and →0 ,so {ak} is nonegative sequence
: 再來好像要分2k跟2k+1討論, 可是我不太清楚要怎麼做
: 可以教我嗎 謝謝
參考一下:
發信站: 政大狂狷年少 (2009/06/21 Sun 11:03:09)
轉信站: news.cs.nthu!WHSHS
※ 引述《iamagine.bbs@bbs.cs.nthu.edu.tw (A-gine)》之銘言：
> Suppose {a_k} is a decreasing sequence of real number.
> ∞
> Prove that if Σ a_k converges, then k(a_k) → 0 as k → ∞
> k=1
> 麻煩大大指導Q___Q
Σ a_k converges ==> a_k → 0
故 {a_k} 非負.
2n
(2n)a_{2n} ≦ 2 Σ a_k → 0 as n→∞, by Cauchy criterion
k=n+1
2n-1
(2n-1)a_{2n-1} ≦ 2 Σ a_k + a_{2n-1} → 0
k=n
故得證 k(a_k) → 0 as k → ∞.
---
另外, 剛才想到的方法, 但涉及一個東西以前我的老師三
步解決的, 我現在卻完全不記得----當初我是費了好大力
氣去證的:
設 b_n≧0, Σb_n = ∞, B_n 是 Σb_n 的部分和,
則 Σ(b_n/B_n) = ∞.
設 k*a_k 不收斂到 0, 則
存在 c>0, 存在子列 k(n)*a_{k(n)}≧c, n=1,2,...
故
a_{k(n)} ≧ c/k(n), n=1,2,...
令 k(0)=0. 則
k(n) n k(j) n k(j)
Σ a_i = Σ Σ a_i ≧ Σ Σ c/k(j)
i=1 j=1 i=k(j-1)+1 j=1 i=k(j-1)+1
n
= c Σ (k(j)-k(j-1))/k(j)
j=1
令 b_n = k(n)-k(n-1), 則 B_n = k(n)↑∞, 故
Σ (k(n)-k(n-1))/k(n) = ∞
所以 Σa_k 發散, 與假設 Σa_k 收斂矛盾. 矛盾的源頭
是因假設 k*a_k 不收斂到 0. 因此得證 k*a_k→0.
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