※ 引述《Eleazer (DSS & Sim Lab)》之銘言：
: 創創從集合{1,2,3,4,5}隨意選2個不同的數，守守從集合{1,2,...,10}隨意選1個數，
: 則守守選的數大於創創選的2個數之和的機率為
: (A)2/5 (B)9/20 (C)1/2 (D)11/20
: Ans:(A)
: 我的算法是從守守所選之數開始討論,
: 當守守選4時，創創可選的方法有一種(1,2)
: 當守守選5時，...
: ...
: 把所有情況討論出來，可得答案，但有點花時間
: 不知是否還有其他做法呢? 謝謝!
換個角度討論可能會 "稍微" 快一點點
如果創創選的兩個數叫 a,b (且a<b)
守守選的數叫 c
那麼：
a=1時,b=2~5：共有 7+6+5+4 種(a,b,c)符合要求
a=2時,b=3~5：共有 5+4+3 種(a,b,c)符合要求
a=3時,b=4~5：共有 3+2 種(a,b,c)符合要求
a=4時,b= 5：共有 1 種(a,b,c)符合要求
因此共有 40 種(a,b,c)符合要求
機率為 40 / C(5,2)*C(10,1) = 2/5
其實我原本是打算試著分析這題，
但是由於題目給的限制太窄了，
分析變得比較麻煩，
因此只能這個樣子了。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.116.89.133
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先給結果，過程下午有空再打
創創從集合{1,2,...,n}隨意選2個不同的數，
守守從集合{1,2,...,2n}隨意選1個數，
則守守選的數大於創創選的2個數之和的機率為：
n-1
------
2n
補上繁瑣的過程：
如果創創選的兩個數叫 a,b (且a<b)
守守選的數叫 c
下面討論共有幾組 (a,b,c) 符合 c > a+b
a = 1 , b = 2~n : (2n-3) + (2n-4) + (2n-5) + ... + (n+1) + n + (n-1)
a = 2 , b = 3~n : (2n-5) + (2n-6) + ... + n + (n-1) + (n-2)
a = 3 , b = 4~n : (2n-7) + ... + (n-1) + (n-2) + (n-3)
.
.
.
a = n-3 , b = n-1~n-2 : 5 + 4 + 3
a = n-2 , b = n-1~n : 3 + 2
a = n-1 , b = n : 1
所以總共為上面所有數字的和
我們可以發現所有直列剛好都是一個公差為1的等差數列
且由左往右第k列：項數為k，首項為2n-2-k (最右邊那列 k = n-1)
因此若把第k列的和叫做 bk
則：bk = [ 2*(2n-2-k) + (k-1)*1 ] / 2 (等差級數公式)
= (2n-3/2)k - (3/2)*k^2
因此我們所要算的 (即將上面全加起來) 共有：
n-1 n-1 n-1 n-1
Σ bk = Σ [(2n-3/2)k - (3/2)*k^2] = (2n-3/2) * Σ k - (3/2) * Σ (k^2)
k=1 k=1 k=1 k=1
= (2n-3/2) * (n-1)*n/2 - (3/2) * (n-1)*n*(2n-1)/6
= (1/4)*n*(n-1)*[(4n-3)-(2n-1)]
= n(n-1)^2 / 2 (組)
因此所求的機率為：
[n(n-1)^2 / 2 ] / [C(2n,1)*C(n,2)]
= [n(n-1)^2 / 2 ] / [2n*n*(n-1) / 2]
= (n-1) / 2n
即：
創創從集合{1,2,...,n}隨意選2個不同的數，
守守從集合{1,2,...,2n}隨意選1個數，
則守守選的數大於創創選的2個數之和的機率為：
n-1
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※ 編輯: ckchi 來自: 140.116.89.133 (03/28 13:29)
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討論串 (同標題文章)
