Re: [線代] 幾個命題的真偽

看板Math作者 (彼得)時間15年前 (2011/02/14 10:40), 編輯推噓4(4推 0噓 20→)
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※ 引述《Madroach (∞)》之銘言： : 寫題目的時候碰到幾個不確定的敘述 : 1)A and B are n*n matrices, AB = O, then all eigenvalues of BA are 0. : 2)A is a n*n matrix over R s.t A^2=-I_n, then : ( i ) n must be even : (ii ) tr(A)≠0 : (iii) if B^2=-I_n , then A.B are similar : 這四條命題實在很不確定 Q Q : 有請前輩指教! 前面都有人回答了 那我就補充2)(iii) if B^2=-I -> Let f(x)=x^2+1 By C.H Thm f(B)=O mB(x)|f(x) mB(x)=(x-i)(x+i) or (x-i) or (x+i) A同理， Let mB(x)=(x-i) mA(x)=(x+i) Hence, A, B不相似。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.143.56.123
推
02/14 10:59, , 1F
對耶!這是個好辦法! 謝謝你!! :)
02/14 10:59, 1F
→
02/14 23:37, , 2F
實矩陣的min.poly.應該是實係數吧
02/14 23:37, 2F
→
02/14 23:37, , 3F
另外，這問題用Jordan form做出來是"true"
02/14 23:37, 3F
推
02/15 14:47, , 4F
minimal poly. = x^2+1 的話, over |R 就沒有
02/15 14:47, 4F
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02/15 14:47, , 5F
eigenvalue, 樓上指的是 rational canonical form嗎?
02/15 14:47, 5F
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02/15 14:49, , 6F
因為 inv. factor 一定只能是 {(x^2+1),(x^2+1),...}
02/15 14:49, 6F
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02/15 14:50, , 7F
講錯, 是 elem. divisor, 所以這題 over |R 是對的
02/15 14:50, 7F
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02/15 14:50, , 8F
是這樣嗎?
02/15 14:50, 8F
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02/15 14:52, , 9F
剛剛看了一下原題有"over |R" 這個條件啊
02/15 14:52, 9F
推
02/15 22:13, , 10F
嗯真的耶 題目確實有寫 over R @@"
02/15 22:13, 10F
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02/16 10:27, , 11F
sorry造成你的誤解　是我的疏忽
02/16 10:27, 11F
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02/16 10:30, , 12F
不過因為這樣的矩陣在Ｒ上不能做成Jordan form
02/16 10:30, 12F
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02/16 10:31, , 13F
所以你考慮在Ｃ上形成Jordan form 會發現不相等
02/16 10:31, 13F
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02/16 10:32, , 14F
所以回到R上時　A B不相似
02/16 10:32, 14F
→
02/16 10:43, , 15F
第二句不要理我= =
02/16 10:43, 15F
推
02/16 13:55, , 16F
不對吧 比如說 n=2 你舉的例子 A,B 在 M_2(C) 裡面
02/16 13:55, 16F
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02/16 13:56, , 17F
會相似於 iI_2 或 -iI_2, 但這兩個方陣根本不可能
02/16 13:56, 17F
→
02/16 13:57, , 18F
跟 M_2(R) 裡面任何一個方陣相似 這反例是不成立的
02/16 13:57, 18F
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02/16 13:57, , 19F
上面用 Rational Canonical Form 的證明應該可以吧
02/16 13:57, 19F
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02/16 13:58, , 20F
也就是說這個命題在 M_n(R) 裡面是成立的
02/16 13:58, 20F
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02/16 14:00, , 21F
還有可能是 [i 1; 0 i] 或 [-i 1; 0 -i]
02/16 14:00, 21F
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02/16 14:00, , 22F
但無論如何 因為 A, B 的 trace 是實數, 上面的反例
02/16 14:00, 22F
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02/16 14:01, , 23F
不成立
02/16 14:01, 23F
→
02/16 14:02, , 24F
對不起 我耍笨了 [i 1; 0 i] 或 [-i 1; 0 -i] 不可能
02/16 14:02, 24F
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