Re: [理工] 工數

看板Grad-ProbAsk作者jack0711 (小修)時間14年前 (2012/02/02 03:28)推噓7(7推 0噓 20→)

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※ 引述《mp8113f (丹楓)》之銘言： : 對於Delta function δ(t) : 其實他的解法性質不是很清楚只知道不能用一般的方式去處理它 : 關於 .. 若f(t) = t*u(t-1) : please find L[f'(t)] 應該怎麼處理呢 ? L[f'(t)]=sF(s)-f(0)是有條件的，條件就是須為連續函數原本的公式應為 -as + - L[f'(t)]=sF(s)-f(0)-e *[f(a )-f(a )]，a為不連續點如果不連續點不只一項，就要每項都考慮到推導: ∞ -st a- -st ∞ -st ∫ f'(t)*e dt=∫ f'(t)*e dt+∫ f'(t)*e dt 0 0 a+ 函數不連續處實際上是沒辦法積分的，所以必須分段討論 ∞ -st -st a- a- -st -st ∞ ∫ f'(t)*e dt=e *f(t)| + s∫ f(t)*e dt + e *f(t)| 0 0 0 a+ ∞ -st +s∫ f(t)*e dt (寫不下@@) a+ a- -st ∞ -st -sa + - =s*[∫ f(t)*e dt+∫ f(t)*e dt]-f(0)-e *[f(a )-f(a )] 0 a+ -sa + - =sF(s)-f(0)-e *[f(a )-f(a )] 如果函數連續，則f(a+)=f(a-)，就是我們熟悉的公式了所以這題題目f(t) = t*u(t-1) find L[f'(t)] 我們先判斷出f(t)在t=1時有不連續點，所以 f(t)=(t-1)u(t-1)+u(t-1) 1 -s 1 -s F(s)= ----*e + ---*e 2 s s 1 -s 1 -s -s + - L[f'(t)]=s[----*e + ---*e ] - 0 - e *[f(1 )-f(1 )] 2 s s 1 -s -s -s =---*e + e - e *[1-0] s 1 -s =---*e (我猜這應該就是程X的解法@@) s 另外有人問到為何先微分再取Laplace會錯? 我認為是因為你做微分時，沒有考慮到不連續點接下來我利用微分的定義來做這個題目 d ----[t*u(t-1)] dt f(t+dt)-f(t) (t+dt)*u(t+dt-1)-t*u(t-1) = f'(t) = lim -------------- = lim --------------------------- dt->0 dt dt->0 dt t*u(t+dt-1)-t*u(t-1) + dt*u(t+dt-1) = lim ------------------------------------- dt->0 dt 0 + dt*u(t+dt-1) =lim -------------------- dt->0 dt =u(t-1) 有人問到不連續、尖點不是都不可微嗎，那這樣用微分算會不會有問題? 不連續函數的確是不可微，但是只有在不連續點處不可微(不好意思水球跟你說錯了) 以這一題為例，對於所有t0屬於(1,∞)和(-∞,1),f'(t0)=u(t0-1) 也就是除了t=1這一點無法微分外，其他t值都可以微，換句話說f'(1)不存在或是沒有定義實際上不連續點的函數值是被定義出來的 Q:u(t-1)在t=1時值為何? A:不一定，有些課本定義u(0)=1(ex:C.HENRY EDWARDS所著ELEMENTARY DIFFERENTIAL EQUATIONS)，有些定義u(0)=0.5(滿足fourier函數性質) 事實上討論t=1這一點沒有意義，我們在乎的是t=1的鄰域可以爬以前doom大的文章最後我們得到一個驚人的事實 d ----[t*u(t-1)]=u(t-1) dt 拉式轉換後跟前面結果一樣。上述微分跟(f*g)'=f'g+fg'所得的結果會不一樣我認為這個式子要在f和g在所有t屬於(-∞,∞)均為連續函數才可以使用包含到不連續點，微分就必須用定義做，但不連續點處還是不可微，所以不能輕易的寫成f'g+fg' 如果上面有做錯請大家幫忙糾正@@，可能有些地方不夠嚴謹.. 另一題 t f(t)*δ(t-a)=∫ f(t-τ)*δ(τ-a)dτ 0 t =∫ f(t-a)*δ(τ-a)dτ 0 t =f(t-a)∫ δ(τ-a)dτ 0 =f(t-a)*[u(t-a)-u(-a)] 當a>0 f(t)*δ(t-a)=f(t-a)*u(t-a) 經過樓下doom大的指正要滿足a>0和訊號為one side上式才會滿足 ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.123.237 ※ 編輯: jack0711 來自: 140.113.123.237 (02/02 03:32)

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※ 編輯: jack0711 來自: 140.113.123.237 (02/02 04:40)

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