Re: [理工] 99台聯工數
※ 引述《mp8113f (丹楓)》之銘言：
: ※ 引述《dannytom (~oo~)》之銘言：
: : 題目： y'=y^2-1 , y(0)=1 要求y
: : 自己算算出了一個很怪的答案
: : 請板上的高手幫忙看看
: : 感激不盡
: 1
: ─── dy = - dx
: 1-y^2
: -1
: tanh y = -x + c
: ∴ y = tanh[c - x]
: -1
: with y(0) = 1 get c = tanh 1
: -1
: ∴ y = tanh[tanh 1 - x]
: 這答案算怪還是漂亮 ... ! 有錯幫指證 感謝 !
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分離變數法在使用上有一個 issue
就是若把型如 y' = f(x)*g(y) 的 g(y) "除"到 LHS
那得出來的通解會喪失掉 roots of g(y) = 0
可是 g(y) = 0 的根也會是 y' = f(x)*g(y) 的解
所以 g(y) = 0 也被稱為 singular solution
以這題來說
1 - y
y' = y^2-1 的 general solution => ln│ ─── │ = 2x - C
1 + y
singular solution => y^2 = 1
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所以這題的計算過程就直接是:
┌ y^2 = 1 => y = 1
└ y(0) = 1
較詳細的說明就是由 唯一性定理 可知特解存在且唯一
並且 通解不存在任何常數 C , 使得 y(0) = 1
因此初始條件落在 singular solution 上 , 而 y=1 滿足題意
這題不能直接利用通解來求得答案
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.211.139
推
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