Re: [理工] [線代] det(A)
今天剛好有做到類似的題目，就提出來討論一下
假設A為 n x n 的矩陣，當det(A) = 0時，代表rank(A) < n，分兩種情況
(1)若rank(A) = n - 1：
首先必須先知道一件事，當AB = 0時CS(B)會包含於ker(A) => rank(B) ≦ nullity(A)
簡單的證明如下
ABx = 0，for all x ≠ 0，則 Bx 必屬於 ker(A)。
現在已知det(A) = 0，表示A‧adj(A) = det(A)‧I = 0
而nullity(A) = n - rank(A) = 1
因此得到rank(adj(A)) ≦ 1
但是因為rank(A) = n - 1的緣故，A中存在某一行某一列使得 A 去掉這一行這一列
之後rank仍為n - 1，因此adj(A) ≠ 0 => rank(adj(A)) = 1。
(2)若rank(A) ≦ n - 2：
這個情況 A 中去掉任一行任一列後的行列式值仍然為0，因此adj(A) = 0
=> rank(adj(A)) = 0。
綜合以上兩點可以知道當det(A) = 0時，rank(adj(A))只有0跟1兩種可能，因此
det(adj(A)) = 0得證。
有錯請指正，考試快到了大家加油，祝大家都能考上心中的第一志願。
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完整討論串 (本文為第 3 之 3 篇)：
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