Re: [理工] [工數]-二階變係數ODE
y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)
令y=uv
y' =u'v+uv'
y" =u"v+2u'v'+uv"
代入得 v" +(2u'+P(x)u)v'/u+(u"+pu'+Q(x)u)v/u =R(x)/u
一 假設你看出一齊性解 u OR 題目 有給 令y=uv 待入
u"+pu'+Q(x)u =0 就變成v" 和v' 的線性 可解出
二 如果看不出來齊性解 就假設u"+pu'+Q(x)u 不等於零
改令2u'+P(x)u =0
u'=-P(x)u/2
u"=-P(x)u/2+P(x)^2u
v" +(2u'+P(x)u)v'/u+(u"+pu'+Q(x)u)v/u =R(x)/u
2u'+P(x)u=0
代入(u"+pu'+Q(x)u)v/u
=Q(x)-P(x)^2/4-P'(x)/2
ODE變成 v"+(Q(x)-P(x)^2/4-P'(x)/2)v =R(x)/u
SO 當 Q(x)-P(x)^2/4-P'(x)/2 = c OR c/x^2
線性 等維線性
此ODE就可解出
※ 引述《k0184990 (追隨夢想..)》之銘言：
: y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x)
: 為什麼要先假設y=uv??
: 這假設的原因是?不是很懂..
: 因為我看到後面他是寫說u(x)為y的齊性解之一
: 然後就可變成一階線性ODE，以求出v'
: 但是那假設的理由是??
: 在額外問個問題...齊性解如何觀察而得?
: 若觀察不到..但實際上可觀察出的題目
: 可以直接用Q-1/4P^2-1/2p'解之嗎??
: 請各位高手大大幫忙:)
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小犬
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