Re: [理工] [工數]-高階ODE

看板Grad-ProbAsk作者 (我是胖丁)時間14年前 (2010/01/07 19:09), 編輯推噓4(4推 0噓 56→)
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: t : 令x=e 則 : 3 : x y'''=Dt(Dt-1)(Dt-2)y : 2 : x y''=Dt(Dt-1)y : xy'=Dty : d : 其中Dt=----- : dt : 原式可改為{Dt(Dt-1)(Dt-2)-4Dt(Dt-1)+8Dt-8}y=4t : 3 2 : =>(Dt -7Dt +14Dt-8)y=4t : =(Dt-1)(Dt-2)(Dt-4)y=4t : t 2t 4t : 齊性解yh=Ae +Be +Ce 令 yp=At+B 帶回ode 比較係數 14A-8(At+B)=4t A=-1/2 B=-7/8 yp=-1/2t -7/8 個人認為這樣解好像比逆算子快 XD 算起來失誤率應該是0 : 1 -1 -7 : 特解yp=-------------------4t=(---- + ----Dt + .....)4t <==馬克勞琳展開 : 3 2 8 32 : (Dt -7Dt +14Dt-8) : -1 -7 : =----t+ ----- : 2 8 : 解y=yh+yp : 將t=lnx帶回可得解答 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 123.192.211.80 ※ 編輯: pudin2008 來自: 123.192.211.80 (01/07 19:14)
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其實逆運算子真的在做的事情跟這個一樣~只是寫的數學點
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不一樣吧，逆運算子是直接把積分結果算出來
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當公式在背而已。 未定係數法則是 try 解的型態
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基本上逆運算子有兩個部份 第一個部份是積分型態
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第二個部份是公式 這些公式大部分是代定係數法的結論
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就像上面我用的公式的證明其實也是用代定係數法
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積分型態的逆運算子跟代定係數結論很容易分
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像是那種可以把D換數字的幾乎都是代定係數的結論
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而我用到的展馬克勞林其實你仔細看 過程跟代定係數其實
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是類似的~
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可以問 b大一個問題嗎@@? 為何 1/(1-D)
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可以寫成 1 + D + D^2 + D^3 + ...
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降冪除吧 沒記錯的話
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為何可以這樣除? 我無法理解它跟未定係數有何關係
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若這兩個運算子是等價的，那 [1/(1-D)]e^x
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套用 1 + D + D^2 + D^3 + ... ,再處理發散級數
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算出來會是齊性解，而非特解
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表示兩者 operator 不等價，但為何有時候還能這樣除?
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推
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大哥是對的,
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老實說我沒學逆運算= = 所以我也不知道為什麼可以這樣
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只是上課時聽老師特別說要降冪
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這是把D當成代數運算子展成馬克勞林
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而展成馬克勞林後 並不是要處理級數 而是繼續把它當成
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微分運算子 也就是說 只是把積分器轉為微分器
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至於這個方法跟代定係數的關係 這個方法只是有類似處
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不完全相同 我說的代定係數結論 是說可以把D換成數字的
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那幾條公式 像是e^2x/L(D)=e^2x/L(2) 這條 你可以推看
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看 這條的推導就是使用代定係數 發現會等價
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還有 這個算出來的會是特解 因為他處理的是R(x)項
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另外[1/(1-D)]e^x不可以換成1 + D + D^2 + D^3 + ...
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之所以我這裡可以這樣換 是因為R(x)是多項式 後面微光
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不需要處理 e^x微不掉 不能展馬克勞林
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推
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e^2x/L(D)=e^2x/L(2) 這個我會証，我不問題不再這
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而是為何可以這樣展開?
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把它當成代數符號去處理就可以 解高階ODE時你會把d/dx
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換成p 跟這個意思是一樣的 當然 中間有很多純數的問題
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會需要很深的理論證明 基本上 會用這種方式展開 是因為
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後面是多項式才可以 像exp就微不掉
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#1BGYyuAY (Math) , 這篇的大大有用無窮級數解 e^x
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而且為何只限於 多項式才能展開?
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不是說只有多項式可以展開 是說只有多項式我們才會這樣
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做 你想想 要是展開比不展更麻煩 誰那麼無聊?我又不是
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在研究數學 這畢竟只是工具 當然是好用的才用
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#1BGYyuAY那篇 跟逆運算子的原理是有差的
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他的作法我沒看很仔細 大概看了看 他還是在處理微分
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好像沒用到1/L(D)
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所以我的問題在於那個展開要如何證明 OTZ
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如何由 L(D)y = f(x) 出發去証?
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若假設 f(x) 是多項式好了
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我之前有看過1/L(D)的整個證明~我找找
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推
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拜託了QQ , 這個問題困擾我很久了說XD
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我雖然會用逆運算子，可是有些東西都証不出來 OTZ
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找不到了= =有緣看到再分享吧
01/08 01:41, 53F
推
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我也很期待說>"<
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01/08 01:42, , 55F
睡覺去~~
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=.= , 丟到 math 版問，我猜大概會生出很多我看不懂
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的文章 QQ
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01/08 02:02, , 58F
01/08 02:02, 58F
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這篇跟我想問的不一樣的說~~
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01/08 02:09, , 60F
#1BEfRzEf (Math) 兩個是一樣的XD
01/08 02:09, 60F
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