Re: [理工] [工數]-傅立葉轉換
※ 引述《winer8 (快來明星3 缺1 )》之銘言：
為了和乘號 * 作區隔
convolution 會用 "⊕" 符號代替 = =ll
: -1 -2∣w+2∣
: 1.find f(t)=F [F(w)] F(w)=e cos(3w+6)
: -j2t
: e 1 1
: 答案 f(t)=----- [----------- + -------- ]
: π 4+(3+t)^2 4+(3-t)^2
-i2t -1
f(t) = e * F { F(w-2) }
-i2t -1 -2|w| -1
= e * F { e } ⊕ F { cos(3w) }
-i2t 2/π δ(t+3) + δ(t-3)
= e * [ _________ ]⊕[ _________________ ]
t^2 + 2^2 2
-i2t 1 1 1
= e * ___ * [ ___________ + ___________ ]
π (t+3)^2 + 4 (t-3)^2 + 4
: -x
: 2.find fourier integral f(x)=e ,x>0 and f(x)=0 x<0 and evaluate
: ∞ coswx+xsinwx
: ∫ ----------- dx
: 0 1+x^2
: 1 ∞ coswx+wsinwx ∞ coswx+xsinwx πexp(-w) w>0
: 答案 f(x)=----∫ ----------- dw ∫ ----------- dx= 0.5π w=0
: π 0 1+w^2 0 1+x^2 0 w<0
∞ -x -iwx
F{ e^(-x)*u(x) } = ∫ e * e dx
0
e^[-(1+iw)x] x=k
= lim ____________ ｜
k→∞ -(1+iw) x=0
e^[-(1+iw)k] - 1
= lim ________________
k→∞ -(1+iw)
1
= ______
1 + iw
∞ cos(wx) + x*sin(wx)
∫ ___________________ dx
0 1 + x^2
1 ∞ e^(iwx) e^(-iwx)
= ___ ∫ _______ + ________ dx
2 0 1 + ix 1 - ix
1 ∞ e^(iwx)
= ___ ∫ _______ dx
2 -∞ 1 + ix
= πe^(-w)*u(w) (由前面的結論可知)
ps: 當 w=0 , 答案會差兩倍
是因為這裡的 u(w) 定義為 Heaviside step function
: ∞ w^3sinwx π
: 3.prove ∫ -----------dw=------exp(-x)cosx if x<0
: 0 4+w^4 2
考慮
∞ w^3 iwx
∫ _______*e dw
-∞ w^4 + 4
∞ w^3 iwx
= ∫ ____________________* e dw
-∞ (w^2+2w+2)(w^2-2w+2)
∞ (w+1)/2 (w-1)/2 iwx
= ∫ [ __________ + __________ ] * e dw
-∞ (w^2+2w+2) (w^2-2w+2)
∞ (w+1)/2 (w-1)/2 iwx
= ∫ [ ___________ + ___________ ]* e dw
-∞ (w+1)^2 + 1 (w-1)^2 + 1
-ix -1 w/2 ix -1 w/2
= 2π*[ e * F { _______ } + e * F { _______ } ]
w^2 + 1 w^2 + 1
-1 w
= 2πcosx * F { _______ }
w^2 + 1
1 d -1 1
= 2πcosx * ___ ___ F { _______ }
i dx w^2 + 1
1 d -|x|
= 2πcosx * ___ ___ e
2i dx
= ┌ iπcosx * e^(-x) if x>0
└ -iπcosx * e^(x) if x<0
所以原積分 = ┌ (π/2)cosx * e^(-x) if x>0
│ 0 if x=0
└ -(π/2)cosx * e^(x) if x<0
ps1: 注意題目的積分區間、與我所做的積分區間相差兩倍
ps2: 解答怪怪的，沒有 x>0 的case = =
ps3: 也可以用 convolution 去做
ps4: 當 x=0 , 直接帶入原積分會 = 0
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※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (11/21 05:30)
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討論串 (同標題文章)