Re: [理工] [工數]-一階ODE
※ 引述《JaLunPa (呷懶趴)》之銘言：
: y"+6y'+9y=e^-3x / x^2 +1
: 特解部分
: yp=1/D^2 +6D +9 * e^-3x/x^2 +1
: =e^-3x * 1/D^2 * 1/x^2 +1
: =e^-3x * 1/D *(tan^-1 x + c)
: =e^-3x * (lnsinx+cx+c)
: 這是我算的答案
: 解答上yp答案是x[tan^-1 x - 1/2 ln(1+x^2)]e^-3x
: 各位大大可以告訴我那邊算錯嗎?
: 想破頭了 感謝~~
: 題目是91北科自動化的A大題第三小題
: http://wwwlib.ntut.edu.tw/www/ntut/mba/at/91/1-1.gif
給假覽趴大
(1) 反正切 ( Arc Tangent )
-1
定義 : 反正切 y = tan x (正切值的反運算)
-1
ex : y = tan x ， x = 1 ， y = ?
-1
y = tan (1)
。
= 45
-1
ex2 : y = tan x ， x = ∞ ， y = ?
-1
y = tan (∞)
π
= ──
2
那你會問說，tan 是週期函數，若他的反函數，就會造成不是一對一函數的型態
-π π
所以我只會定義 Domain (-∞,∞) Range (──,──)
2 2
畫出來就像你畫 y = tanx ， 然後以 y = x 當作對稱軸，鏡射到另一邊所畫出來
的圖形。
導函數
-1 1
D( tan x ) = ────
1 + x^2
Pf ╱│
2 ╱ │
-1 √1 + x ╱ │
y = tan x ╱ │ x
╱ │
╱ y │
tany = x ──────┘
1
2 1
微分 sec y y' = 1 ， y' = ────
(secy)^2
1
y' = ────
1 + x^2
反導函數
-1
∫ tan x dx = ?
利用 分部積分
-1 x
x tan x - ∫──── dx
1 + x^2
-1 1 2
= x tan x - ── ln │1 + x │ + C
2
P.S 反函數不是把它放到分母就是反函數，是運算的過程相反的函數才叫做反函數喔!
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