Re: [問卦] 傅立葉轉換是怎麼想出來的？已刪文
※ 引述《arrenwu (二乃騎士)》之銘言：
: 你直接跳到 Fourier Transform 那當然看起來像外星產物啊
: 而且你講的混雜過的東西一個一個抽出來已經算是應用了
: 這一開始是從大家對 週期函數 的興趣開始的。
: 上過微積分的都知道，大部分連續函數我們都可以用多項式去逼近他，
: 在課本上叫做 泰勒級數，而我們最熱愛多項式了 嘻嘻
: 但是這個估計方式去弄週期函數，一眼看下去就會覺得沒那麼好，
: 因為一個多項式函數在你的變數跑到無窮大或無窮小都會爆開
: 所以可以換一下不要用 x, x^2 ,x^3 ........ 去逼近一個有周期的函數 f(x)，
: 改用些有周期的項目去逼近。
: 那大家最熱愛的有周期的函數是什麼？ 想必就是三角函數了！
: 所以假如 f(x) 的週期是 T，我們先很直覺地抓兩個週期是T的三角函數：
: cos(2π/T x) 和 sin(2π/T x)
: 好~太棒了！令 g(x) = a1* cos(2π/T x) + b1* sin(2π/T x)
: a1 跟 b1 是兩個我們想要找的常數，希望讓 g(x) 跟 f(x) 看起來"長得比較像"
: T
: 一個合理的是去算能讓 ∫ ( f(x)-g(x) )^2 dx 最小的 a1 & b1，
: 0
: 這個很容易，就只是展開然後配方，會得到大家在微積分裡面看到的結果。
: T
: 有人可能會問：啊怎麼不去算 ∫ | f(x)-g(x) | dx ？ 絕對值也是常用距離啊！
: 0
: 因為平方比較好算啦 幹
: 可是呢，這個算出來的g(x)，很難跟 f(x) 長得很像。可是別灰心，
: 週期為 T 的三角函數還有很多：就是那些週期為 T/2, T/3, T/n, .... 的三角函數
: 全部抓進來，所以我們可以改看一個無窮級數:
: ∞
: h(x) = Σ an* cos(2πn/T x) + bn* sin(2πn/T x)
: n=1
: T
: 去算讓 ∫ ( f(x)-h(x) )^2 dx 最小的 {an} 和 {bn}，
: 0
: 就會得到課本上面的公式囉！
: 然後呢，用Euler 的那個 e^(ix) = cos(x) + isin(x) ，把h(x)整理一下，
: ∞
: 可以寫成 h(x) = Σ Cn e^(2πn/T x)
: n=-∞
: T
: Cn = 1/T∫ f(x)e^(-2πn/T x)dx
: 0
: 這邊我想大家就看得出，Cn的大小可以看成 相對應頻率的三小函數 在f(x) 中的分量
: 這之後呢，你如果把一般函數想成「週期很大很大所以看不太出週期」的函數，
: 也就是想像 T→∞ 的情況，就變成 Fourier Tranform 了
: 不過Fourier Fransform產生的核心目的也是為了解微方就是了
這篇已經講得很好了。從線性代數的角度出發，傅立葉級數可以變得更直覺一些。
最重要的概念仍是試圖把一個週期性函數拆分成與之具有相同週期的三角函數的疊加。
如果我們接受把向量的定義拓展到函數身上，
那這個分解的過程就像是把一個向量投影到座標軸上的分量。
我們知道兩個向量如果垂直，他們的內積就是零；
一個向量跟自己內積，會是自己長度的平方。
把內積的概念推展到函數中，兩個函數相乘後積分如果為零，
我們就說這兩個函數是垂直(正交)的。
稍微試著積分一下，可以發現三角函數sin nx跟cos nx事實上都互相正交。
更甚者，他們的集合形成的會是一個complete set，
意思是這些向量可以完整描述我們想要分解的對象，
(不完整的意思就像是你不能拿xy座標來分析三維空間中的點)
所以拿他們來做週期函數的分析是再好不過了。
借用一下式子：
∞
f(x) = Σ an* cos(2πn/T x) + bn* sin(2πn/T x)
n=1
當我們意圖求出座標軸上的分量(係數an及bn)，
只要把目標的向量(f(x))跟座標的單位向量(cos or sin)內積，
留下來的就會是該座標的分量。
推廣到一般函數就令週期為無限大。至此我們就求出轉換的表達式了。
從原函數(時域)轉換出來的新函數(頻域)也不難理解。
以聲波為例子，人講話發出的聲音經過傅立葉變換後得到的就是一堆
不同強度、具有特定頻率的 "乾淨" (正餘弦性) 函數。
這些正餘弦函數都有自己的頻率，當低頻率函數強度較強時，聽起來就像男生；
反之當高頻部分較多時，聽起來就像女生。
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4年前
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