Re: [問卦] 傅立葉轉換是怎麼想出來的？

看板Gossiping作者 (二乃騎士)時間4年前 (2019/10/19 18:31), 4年前編輯推噓117(118推 1噓 84→)
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※ 引述《shrinkage (Shrinkage)》之銘言： : 昨天看了Youtube科普頻道 : 用動畫模型解釋傅立葉轉換的構想 : 傅立葉轉換簡單說 : 就是把混雜混合過的一團東西 : 一個一個抽取出來 : 抽取的方法稱傅立葉轉換 : 這方法根本是外星人才會想到吧？ : 以前沒有動畫模型 : 甚至沒有彩色印刷的年代 : 理工學生有幾個真的能懂傅立葉轉換嗎？ : 太神的一個轉換了 : 嚴重懷疑是外星產物 你直接跳到 Fourier Transform 那當然看起來像外星產物啊 而且你講的混雜過的東西一個一個抽出來已經算是應用了 這一開始是從大家對 週期函數 的興趣開始的。 上過微積分的都知道，大部分連續函數我們都可以用多項式去逼近他， 在課本上叫做 泰勒級數，而我們最熱愛多項式了 嘻嘻 但是這個估計方式去弄週期函數，一眼看下去就會覺得沒那麼好， 因為一個多項式函數在你的變數跑到無窮大或無窮小都會爆開 所以可以換一下不要用 x, x^2 ,x^3 ........ 去逼近一個有周期的函數 f(x)， 改用些有周期的項目去逼近。 那大家最熱愛的有周期的函數是什麼？ 想必就是三角函數了！ 所以假如 f(x) 的週期是 T，我們先很直覺地抓兩個週期是T的三角函數： cos(2π/T x) 和 sin(2π/T x) 好~太棒了！令 g(x) = a1* cos(2π/T x) + b1* sin(2π/T x) a1 跟 b1 是兩個我們想要找的常數，希望讓 g(x) 跟 f(x) 看起來"長得比較像" T 一個合理的是去算能讓 ∫ ( f(x)-g(x) )^2 dx 最小的 a1 & b1， 0 這個很容易，就只是展開然後配方，會得到大家在微積分裡面看到的結果。 T 有人可能會問：啊怎麼不去算 ∫ | f(x)-g(x) | dx ？ 絕對值也是常用距離啊！ 0 因為平方比較好算啦 幹 可是呢，這個算出來的g(x)，很難跟 f(x) 長得很像。可是別灰心， 週期為 T 的三角函數還有很多：就是那些週期為 T/2, T/3, T/n, .... 的三角函數 全部抓進來，所以我們可以改看一個無窮級數: ∞ h(x) = Σ an* cos(2πn/T x) + bn* sin(2πn/T x) n=1 T 去算讓 ∫ ( f(x)-h(x) )^2 dx 最小的 {an} 和 {bn}， 0 就會得到課本上面的公式囉！ 然後呢，用Euler 的那個 e^(ix) = cos(x) + isin(x) ，把h(x)整理一下， ∞ 可以寫成 h(x) = Σ Cn e^(2πn/T x) n=-∞ T Cn = 1/T∫ f(x)e^(-2πn/T x)dx 0 這邊我想大家就看得出，Cn的大小可以看成 相對應頻率的三小函數 在f(x) 中的分量 這之後呢，你如果把一般函數想成「週期很大很大所以看不太出週期」的函數， 也就是想像 T→∞ 的情況，就變成 Fourier Tranform 了 不過Fourier Fransform產生的核心目的也是為了解微方就是了 -- 「他不能睡車上嗎？」 ～中野二乃 https://i.imgur.com/s9ENvjt.jpg
-- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 71.198.27.180 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1571481066.A.930.html
推
10/19 18:31, 4年前 , 1F
我討厭數學 QQ
10/19 18:31, 1F
推
10/19 18:32, 4年前 , 2F
PTT怎麼打數學式
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推
10/19 18:32, 4年前 , 3F
嗯嗯，我完全看得懂
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→
10/19 18:32, 4年前 , 4F
看成過期函數。。。
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推
10/19 18:32, 4年前 , 5F
嗯嗯跟我想的一樣喔
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→
10/19 18:32, 4年前 , 6F
恩恩 就是這樣
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推
10/19 18:32, 4年前 , 7F
你是立葉系？
10/19 18:32, 7F
推
10/19 18:32, 4年前 , 8F
這沒什麼 我阿嬤也會FT啦
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推
10/19 18:33, 4年前 , 9F
跟我想的差不多
10/19 18:33, 9F
推
10/19 18:33, 4年前 , 10F
學習了
10/19 18:33, 10F
推
10/19 18:33, 4年前 , 11F
推推
10/19 18:33, 11F
推
10/19 18:33, 4年前 , 12F
我知道答案等於0
10/19 18:33, 12F
推
10/19 18:33, 4年前 , 13F
我比較佩服的是你公式打得好整齊...
10/19 18:33, 13F
推
10/19 18:34, 4年前 , 14F
...
10/19 18:34, 14F
推
10/19 18:34, 4年前 , 15F
欸 多項式不是用Maclaurin嗎
10/19 18:34, 15F
Maclaurin 是個特例吧？
→
10/19 18:35, 4年前 , 16F
幹看完這些再看二乃，都快吐了
10/19 18:35, 16F
幹嘛 二乃很棒啊
推
10/19 18:35, 4年前 , 17F
沒錯，跟我想的一樣呀.....不懂也要裝懂
10/19 18:35, 17F
推
10/19 18:36, 4年前 , 18F
每次看這公式都不覺得是數學科目，是
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→
10/19 18:36, 4年前 , 19F
英文片語才對
10/19 18:36, 19F
推
10/19 18:40, 4年前 , 20F
你可以教我高微嗎？
10/19 18:40, 20F
推
10/19 18:40, 4年前 , 21F
工數 吐了 = =
10/19 18:40, 21F
推
10/19 18:41, 4年前 , 22F
你有女朋友嗎？初音不算
10/19 18:41, 22F
推
10/19 18:41, 4年前 , 23F
比起傅利葉 倒覺得尤拉比較猛
10/19 18:41, 23F
這兩個人貢獻不同，不太能比啦！ 但Euler 真的是創意十足
推
10/19 18:42, 4年前 , 24F
好難
10/19 18:42, 24F
推
10/19 18:42, 4年前 , 25F
厲害給推
10/19 18:42, 25F
→
10/19 18:42, 4年前 , 26F
你這就教傅立葉的intro講一次而已啊
10/19 18:42, 26F
推
10/19 18:42, 4年前 , 27F
嗯嗯我也是這樣覺得
10/19 18:42, 27F
→
10/19 18:43, 4年前 , 28F
也就是這樣想很好理解這玩意的insight
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推
10/19 18:43, 4年前 , 29F
看的頭好痛，這種咒語難怪你們得不到
10/19 18:43, 29F
→
10/19 18:43, 4年前 , 30F
但是他問的是一開始怎麼會有人想到
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10/19 18:43, 4年前 , 31F
諾貝爾獎！
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10/19 18:43, 4年前 , 32F
雖然這問題本來就比較難有答案
10/19 18:43, 32F
你處理的微方的解明顯有週期的時候 一定得一腳踩到這問題上啊 比如 x''(t) + 2x(t) = sin(t) 好了，這個很好解對吧？ 那萬一變成 x''(t) + 2x(t) = f(t) , f的週期是T. 你要怎辦？
→
10/19 18:44, 4年前 , 33F
有數學就沒有我
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推
10/19 18:45, 4年前 , 34F
下一篇是Laplace和Z轉換嗎?
10/19 18:45, 34F
推
10/19 18:47, 4年前 , 35F
嗯嗯跟我想的一樣
10/19 18:47, 35F
還有 128 則推文
還有 9 段內文
推
10/20 00:36, 4年前 , 164F
不要再白痴說什麼工數啦 幹 工數只是集合工
10/20 00:36, 164F
→
10/20 00:36, 4年前 , 165F
程相關會用到的數學 這是分析吧
10/20 00:36, 165F
推
10/20 00:38, 4年前 , 166F
你他媽是怎麼打出公式的…太屌了吧！
10/20 00:38, 166F
推
10/20 00:44, 4年前 , 167F
馬的 我頭好痛
10/20 00:44, 167F
推
10/20 01:06, 4年前 , 168F
10/20 01:06, 168F
→
10/20 01:06, 4年前 , 169F
推薦一下這個教學影片
10/20 01:06, 169F
推
10/20 01:10, 4年前 , 170F
望塵莫及
10/20 01:10, 170F
推
10/20 01:15, 4年前 , 171F
我文組看不懂
10/20 01:15, 171F
噓
10/20 01:22, 4年前 , 172F
無聊...都老人討論這個幹嘛
10/20 01:22, 172F
→
10/20 01:23, 4年前 , 173F
ptt 不是沒新人了嗎？
10/20 01:23, 173F
推
10/20 01:38, 4年前 , 174F
我看的懂 真讓我難過
10/20 01:38, 174F
推
10/20 03:06, 4年前 , 175F
傅立葉真的跟鬼一樣
10/20 03:06, 175F
推
10/20 04:59, 4年前 , 176F
菜鳥剛上完這個部分的路過...
10/20 04:59, 176F
→
10/20 04:59, 4年前 , 177F
突然覺得微積分不難了☺
10/20 04:59, 177F
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10/20 05:01, 4年前 , 178F
說PTT沒新人的是不是沒看過18、19歲就註冊
10/20 05:01, 178F
推
10/20 06:32, 4年前 , 179F
很可以！！！
10/20 06:32, 179F
推
10/20 15:52, 4年前 , 180F
強！
10/20 15:52, 180F
推
10/21 09:43, 4年前 , 181F
哦幹 你公式怎麼可以打那麼整齊= =
10/21 09:43, 181F
推
10/21 09:47, 4年前 , 182F
每次看到這些科普 都覺得中國人在自大啥？
10/21 09:47, 182F
推
10/21 11:33, 4年前 , 183F
文組腦怎不跳出來說邏輯不分文組理組??
10/21 11:33, 183F
→
10/21 11:34, 4年前 , 184F
文組就是爛啊 只會嘴巴說 根本沒邏輯
10/21 11:34, 184F
→
10/21 11:35, 4年前 , 185F
這篇文章 簡單又基本 也只是種語言表義
10/21 11:35, 185F
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10/21 11:36, 4年前 , 186F
看不懂的就文組啊 連這麼基礎邏輯的語言
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→
10/21 11:36, 4年前 , 187F
都看不懂 笑死人了 還想扯甚麼甚深妙理
10/21 11:36, 187F
推
10/21 12:11, 4年前 , 188F
解釋得不錯，大家應該都聽得懂
10/21 12:11, 188F
推
10/21 13:10, 4年前 , 189F
重點是Fourier series國高中程度也能懂
10/21 13:10, 189F
→
10/21 13:11, 4年前 , 190F
如用多項式來描述二維平面上的任意線段
10/21 13:11, 190F
→
10/21 13:12, 4年前 , 191F
先解釋完備性基底 再說正餘弦也有完備性
10/21 13:12, 191F
→
10/21 13:14, 4年前 , 192F
接著如同彈琴弦般 各種波長組成泛共振
10/21 13:14, 192F
→
10/21 13:16, 4年前 , 193F
用正弦描述這些波 An sin(kn x/2π)
10/21 13:16, 193F
→
10/21 13:17, 4年前 , 194F
使用容易被人所觀測的波長(波數)做描述
10/21 13:17, 194F
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10/21 13:18, 4年前 , 195F
還能與琴弦 音管做上具體經驗物相的連結
10/21 13:18, 195F
→
10/21 13:20, 4年前 , 196F
操作過幾次 甚至做上例題計算 跟本科普
10/21 13:20, 196F
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10/21 13:20, 4年前 , 197F
算了 文組腦已經暈死了 阿肥我也暈死了
10/21 13:20, 197F
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10/21 13:20, 4年前 , 198F
我暈死的原因是 竟然這麼簡單也不會 暈
10/21 13:20, 198F
推
10/21 13:26, 4年前 , 199F
喔 寫太快 波數k = 2π/波長λ 我列式中
10/21 13:26, 199F
→
10/21 13:27, 4年前 , 200F
直接改成 An sin(kn x) n是下標 以上
10/21 13:27, 200F
推
10/21 18:03, 4年前 , 201F
推…還好有二乃
10/21 18:03, 201F
→
11/15 06:38, 4年前 , 202F
還是要分下學店非學店，學店理組也是爛的
11/15 06:38, 202F
→
11/15 06:38, 4年前 , 203F
可以，建議投胎
11/15 06:38, 203F
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