Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
※ 引述《arrenwu (不是綿芽的錯)》之銘言：
: 其實我們幫這些直覺翻譯一下，會得到下面這結果
: 定義數列 An = 0.999...99 (小數點後面n個9)
: A1 = 0.9, A2 = 0.99, A3 = 0.999, ........
:
: 0.9bar = lim An
: n->∞
: 基於上面的描述，會得到 0.9bar = 1
: 不同意的，就叫他自己描述一下他心中的 0.9bar 是什麼樣子
: 如果對方無法定義自己心中的 0.9bar 卻還是堅持不等於1 ....
: 可能是腦袋剛好打結了
: 讓他看一下角卷綿芽的直播舒緩一下吧
: https://youtu.be/l6rlIOetkwg
(現正直播中)
應該就:
n
Σ9*0.1^k = 9*0.1(1-0.1^n)/(1-0.1) = 1-0.1^n
k=1
(為了極限的定義確立證明目標: |1-0.1^n-1| = 0.1^n < ε => 10^n > 1/ε)
Let S = {n in N | 10^n > 1/ε}
Claim: 10^n≧n for all n in N.
Proof:
Basis step:
When n = 1, 10 = 10^1≧1. The relation holds
Inductive Step:
Suppose when n = k, the relation holds
Then when n = k+1, 10^(k+1) = 10*10^k≧10k(by induction hypothesis)
∵ 10k = k+9k ≧ k+1
∴ 10^(k+1) ≧ k+1
The relation also holds for n = k+1
So, by induction, 10^n≧n for all n in N
By Archimedian property, there exist an natural number n such that
n = n*1 > 1/ε
So, by the previous claim and Achimedian property,
there exists a natural number n such that 10^n ≧ n > 1/ε holds.
So, S is nonempty for every ε> 0
Now, we want to show that "for every ε > 0, there exists a natural number
M such that if n > M, 0.1^n < ε"
By Well-Ordering Principle, there exists a smallest positive integer M
such that 10^M > 1/ε
∵ 10^n is increasing, 10^n≧10^M > 1/ε for all n > M
=> 0.1^n < ε for all n > M
∴ lim (1-0.1^n) = 1
n->∞
0.999... = 1這件事可以用這個角度去看
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.47.92.24 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1684354622.A.55D.html
→
05/18 04:33,
2年前
, 1F
05/18 04:33, 1F
※ 編輯: yueayase (114.47.92.24 臺灣), 05/18/2023 04:35:51
→
05/18 04:36,
2年前
, 2F
05/18 04:36, 2F
靠邀，我真的寫錯了... 改過來
那個集合也應該是要找>1/ε
※ 編輯: yueayase (114.47.92.24 臺灣), 05/18/2023 04:41:57
→
05/18 04:42,
2年前
, 3F
05/18 04:42, 3F
→
05/18 04:46,
2年前
, 4F
05/18 04:46, 4F
那個只是中間的一個結果，我不知道哪裡怪...
※ 編輯: yueayase (114.47.92.24 臺灣), 05/18/2023 04:51:37
→
05/18 04:54,
2年前
, 5F
05/18 04:54, 5F
→
05/18 04:55,
2年前
, 6F
05/18 04:55, 6F
→
05/18 04:55,
2年前
, 7F
05/18 04:55, 7F
五、如果是堅稱0.9bar 無論如何都比 1 少一點點
你列的這個問題，我個人覺得如果沒有極限的嚴格定義，實在講不清楚這個問題的點在哪
推
05/18 05:00,
2年前
, 8F
05/18 05:00, 8F
※ 編輯: yueayase (114.47.92.24 臺灣), 05/18/2023 05:06:45
→
05/18 05:20,
2年前
, 9F
05/18 05:20, 9F
→
05/18 05:20,
2年前
, 10F
05/18 05:20, 10F
→
05/18 05:24,
2年前
, 11F
05/18 05:24, 11F
推
05/18 06:34,
2年前
, 12F
05/18 06:34, 12F
→
05/18 07:31,
2年前
, 13F
05/18 07:31, 13F
討論串 (同標題文章)
