Re: [解題] 平方根一問
※ 引述《matsunaga (ㄅㄧㄠ)》之銘言:
: 首先 我先說我的答案是0 有以下幾種解釋方法
: 解釋一: 國二初學平方根時,並還沒學到一元二次方程式,再者國中的數系頂多到實數系
: 所以平方根的定義應該是
: 滿足x^2=a 的x的"數" 由此可知 滿足x^2=9的數有 +3、-3 平方根有兩個
: 滿足x^2=-1的數不存在 => -1 沒有平方根
: 由此推知 滿足x^2=0的數 只有0 所以0的平方根是0 只有一個
: 解釋二: 方程式的"解"跟"根"是不同的兩回事 "根"是指滿足代數式的所有可能值,
: 所以 n次方程式必有n個根(且必須在複數平面)
: "解"是滿足敘述中所有條件的結果
: 所以 若有問題說 正方形面積=1 則其邊長的解為多少? 總不會回答1or-1這個答案吧?
: 回到你說的平方根的定義 滿足x^2=0的解 講一個0就可以了
: 結論:其實在跟學生解釋原因時,要稍微思考一下他們所學的東西,用他們學過的來解釋
: 大概就是這樣 以上拙見 敬請見諒
---
<1>
解 & 根 的確是不一樣的意思,但至少先 google 一下定義吧
自創新定義,若不知情的人看到這篇文章很容易被誤導
何謂解 (solution):
滿足方程式的 數/向量/... 都可稱為解.
例如 x=1 是 x^2 = 1 的一解
(x,y)=(1,1) 是 x^2 + y^2 = 2 的一解
何謂根 (root):
考慮一函數 y(x) , 其中 x 可以是 數/向量/...
若存在一個量 r , 使得 y(r) = 0
則稱 x=r 是 y(x) 的一根
也可稱為一個零點 (zero)
例如 x = 1 是 f(x) = x^2 - 1 的一根
(x,y)=(1,1) 是 f(x,y) = x^2 + y^2 - 2 的一根
所以 r 是 f(x) 的一根
相當於 r 是 f(x)=0 的一解
順帶一提, 為何根也可稱為零點
因為它會讓 f(x) 降為 0
相對應的名詞是 極點 (pole)
簡單想就是這個點會讓 f(x) 趨近於 正/負無窮大/...
當然較嚴格定義可以參考複分析
<2>
會糾結在這些問題上
應該是因為代數基本定理的緣故
但是 代數基本定理 是在說
任何 一元複係數n次多項式 至少存在一個複數根
只是該定理可以推得:
非零 一元複係數n次多項式 會洽有 n 個複數根
這句話只是想說明
一元n次多項式 f(x) 最多就 n 個根,不會有再多的的根
而非強調, f(x)=0 的解 一定要把 n個都寫出來才算對
並且也不該跟學生灌輸, 給定n個解可以還原回原始方程式
這種 in general 不可能辦到的事情, 就算辦到也不知意義何在
例如:
x=0 <=> x^2=0 <=> x^3=0 <=> ... <=> |x|=0
若要求學生寫 x=0,0 (Note: 正式寫法是 x=0, order = 2)
請問對應的原始方程式為何? 為何不能是 |x|=0 ?
-----
求解方程式的一個正確思維
要想成是, 你想拿到 f(x) 的某些屬性,做某些事情
例如你想知道 f(x) 的 zeros/poles
在 D 下是否 compact、differentiable、黎曼可積、...
只是對高中生而言, f(x) := 一元n次多項式
想拿到屬性: 根
x^2 的根為 0 , order = 2
<=> x^2=0 的解為 x=0
但是寫 x = 0, 0 理由不該是為了重建 f(x)
因為單給 zeros/poles 的資訊, 本來就無法得知 f(x) 的全貌
即使考慮 f(x) 是多項式
怎麼知道原生的 f(x) 是 x^2, 2x^2, 3x^2, ... ?
這道理很淺顯易懂
我知道一個人的喜怒哀樂
但還是沒辦法知道這個人的全貌, ex: 名字、身高、體重、...
不該有以貌取人的想法在裏頭
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.236.144.121
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/tutor/M.1443329044.A.89F.html
推
09/27 13:20, , 1F
09/27 13:20, 1F
→
09/27 13:20, , 2F
09/27 13:20, 2F
→
09/27 13:20, , 3F
09/27 13:20, 3F
我會這樣說是因為您的文章提到:
"n次方程式必有n個根"
應該要改成:
"n次多項式必有n個根"
通常文章寫錯,我看到的當下會想成是: 大家看得懂就好
但是說文解字 解/根,用字要精確,無所謂嚴不嚴謹
方程式 跟 多項式 描述的東西不一樣
若要講給國高中聽,其實只要強調以下幾句:
根 => 多項式 or 函數
解 => 方程式
我以前也是傻傻搞不清楚 解/根 的差異
因為老師都教錯,連書本也都會寫錯
"x^2 = 1 的兩個根分別為 1, -1"
很少人知道這句話錯在哪,但大家還是講的很開心
※ 編輯: doom8199 (36.236.144.121), 09/27/2015 13:55:46
推
09/27 19:27, , 4F
09/27 19:27, 4F
推
09/27 21:50, , 5F
09/27 21:50, 5F
推
09/27 23:23, , 6F
09/27 23:23, 6F
推
09/28 00:31, , 7F
09/28 00:31, 7F
推
09/28 03:53, , 8F
09/28 03:53, 8F
推
09/28 08:18, , 9F
09/28 08:18, 9F
推
09/28 08:22, , 10F
09/28 08:22, 10F
→
09/28 08:23, , 11F
09/28 08:23, 11F
→
09/28 08:24, , 12F
09/28 08:24, 12F
推
09/28 08:34, , 13F
09/28 08:34, 13F
→
09/28 15:37, , 14F
09/28 15:37, 14F
所以我才說很少人知道 root 的 "指涉" 對象是 function
因為一堆文章都寫錯
但有些文章會有 eq. + root 相關字眼交雜,並非真的寫錯
而是要自己把 root 解讀成在描述 function 的某些特性點 (f=0)
我覺得 wolfram alpha 就做了一個很好的示範
FindRoot / Solve 的 input argument 分別是 函數 跟 方程式
當然你在上面亂打 root of x^2 - 9 = 0
zero of x^2 - 9 = 0
或是 solve x^2 - 9
它還是會盡量用 regular expression matching 列出 user 可能想要的東西
另外 9的平方根 就是 9^(1/2)
9開根號 就是 √9
只是國高中數學用相對簡單明瞭的字眼去解讀
"根" 背後就帶有 f(x) = 0 這個條件式
不用刻意解讀成 x^2-9 的(正)根 (要這樣定義也無不可)
所以用 x^2 = 9 來定義何謂 square root(s) 基本上跟 根/解 的本意無相衝
※ 編輯: doom8199 (123.195.202.34), 09/28/2015 18:06:09
推
09/28 18:16, , 15F
09/28 18:16, 15F
→
09/28 18:17, , 16F
09/28 18:17, 16F
推
09/28 21:10, , 17F
09/28 21:10, 17F
推
09/28 21:10, , 18F
09/28 21:10, 18F
推
09/28 21:11, , 19F
09/28 21:11, 19F
推
09/28 21:13, , 20F
09/28 21:13, 20F
推
09/29 01:23, , 21F
09/29 01:23, 21F
→
09/29 01:25, , 22F
09/29 01:25, 22F
---
這樣講可能太不負責任 = =a
找文獻出處可能要大家自己多看學術論文資料 or 科普書 (複變、代數、...)
我也不是因為看了一兩篇文獻就改掉
而是在學期間才慢慢修掉這些定義上的認知
寫高階語言 (如 Matlab),解方程式相關函式 *root*
也都在操作 多項式/函數 (= 0)
這裡的學術論文不光指 數學
還有其它領域 (如通訊、影像處理、...) 解方程式相關的用詞也可觀察一下
不敢說這些學術資料一定 100% 一致,但大多數說法如本篇描述
至於"根"與"係數"的關係,就看您怎麼想
可以想成是:
求 f(x) = ax^2 + bx + c 的根 (a≠0)
此時 根 和 a,b,c 之間有哪些關係
例如 判別式 D(a,b,c) = 0, 代表兩根相等, ...
整個還是說得通 (很像在玩文字遊戲XD)
說到這,我得強調一點
國高中課本如何定義,就以它為主 (除非它也自己訂得亂七八糟)
我的本業非教師,並不清楚目前的教本是否 "根=解" ?
但對我而言,這種解讀 光程式語言就相牴觸了
※ 編輯: doom8199 (123.195.202.34), 09/29/2015 12:01:55
推
09/29 12:07, , 23F
09/29 12:07, 23F
→
09/29 12:08, , 24F
09/29 12:08, 24F
→
09/29 12:11, , 25F
09/29 12:11, 25F
→
09/29 12:12, , 26F
09/29 12:12, 26F
推
09/29 12:13, , 27F
09/29 12:13, 27F
→
09/29 12:13, , 28F
09/29 12:13, 28F
→
09/29 12:14, , 29F
09/29 12:14, 29F
→
09/29 12:14, , 30F
09/29 12:14, 30F
→
09/29 12:16, , 31F
09/29 12:16, 31F
→
09/29 12:16, , 32F
09/29 12:16, 32F
推
09/29 12:31, , 33F
09/29 12:31, 33F
→
09/29 12:31, , 34F
09/29 12:31, 34F
→
09/29 12:32, , 35F
09/29 12:32, 35F
→
09/29 13:07, , 36F
09/29 13:07, 36F
→
09/29 13:07, , 37F
09/29 13:07, 37F
推
09/29 13:08, , 38F
09/29 13:08, 38F
→
09/29 13:09, , 39F
09/29 13:09, 39F
→
09/29 13:09, , 40F
09/29 13:09, 40F
→
09/29 13:10, , 41F
09/29 13:10, 41F
→
09/29 13:10, , 42F
09/29 13:10, 42F
→
09/29 13:10, , 43F
09/29 13:10, 43F
→
09/29 13:11, , 44F
09/29 13:11, 44F
→
09/29 13:11, , 45F
09/29 13:11, 45F
→
09/29 13:11, , 46F
09/29 13:11, 46F
→
09/29 13:12, , 47F
09/29 13:12, 47F
→
09/29 13:12, , 48F
09/29 13:12, 48F
→
09/29 13:13, , 49F
09/29 13:13, 49F
→
09/29 13:13, , 50F
09/29 13:13, 50F
推
09/29 15:04, , 51F
09/29 15:04, 51F
→
09/29 15:22, , 52F
09/29 15:22, 52F
推
09/29 16:12, , 53F
09/29 16:12, 53F
→
09/29 16:13, , 54F
09/29 16:13, 54F
→
09/29 16:13, , 55F
09/29 16:13, 55F
推
10/02 23:31, , 56F
10/02 23:31, 56F
討論串 (同標題文章)