Re: [求助] 如何解釋跟號i無意義?
※ 引述《a27993000 (小豬king)》之銘言：
: 目前有想到一個方法，但是我想聽聽大家的方法，是否有讓學生更能接受的?
: 1.A>0，B>0 那麼 跟號(A)*跟號(B)=跟號(AB)
: 2.A<0，B>0 那麼 跟號(A)*跟號(B)=跟號(AB)=跟號(-AB)*i
: 3.A<0，B<0 那麼 跟號(A)*跟號(B)=跟號(AB)*i^2=-跟號(AB)
: 因為i不能比大小所以我不知道跟號(i)*跟號(i)究竟是i還是-i所以跟號i無意義
: 請問這樣的說法是不是有問題，想請問大家都如何說服學生和自己的?
（以下就我的認知說明，請教師自行斟酌要如何傳達給學生）
這是個蠻有趣的問題，正實數開根號，我們取正的根，不會有疑問．
但是當根號作用在複數上時，問題就比較複雜一些．
就取次方根的角度來看，會得到不只一個的值，
原因出在我們一開始對定義域的約定．
在複數平面上，我們以座標(x,y)表示每一個複數，
經過座標變換，以(r,θ)表示，
原本這種一對一對應的情況下，是不會有任何問題的，
但因為數學上，我們將θ等價於θ＋2π，
導致了複數平面上的一個點，對應於無窮多個θ值，
也就使得妳將自變數輸入一個函數得到了多個函數值．
如何解決這個問題？
方法有兩種：
(1)一開始就限定θ的範圍，使兩種座標的對應關係，
在拓樸上同胚(一對一對應，又叫嵌射)
(2)乾脆直接承認，不同θ值代表的是不同的點，
這樣的想法，被數學家黎曼發展為黎曼面，
使得複數函數的微積分得以順利進行
這也是說明了拓樸學的一個很好的例子，
就θ值無範圍的選取來說，他的定義域是一條直線R^1，
而當妳令[θ]=[θ＋2π]
妳得到的會是一個一維的球S^1（也就是二維平面上的一個圓），
這兩個拓樸空間是不等價的，也就反映到了高斯面與黎曼面有不同的拓樸結構．
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◆ From: 140.112.218.89
※ 編輯: condensed 來自: 140.112.218.89 (11/25 18:07)
推
11/25 20:04, , 1F
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