Re: [解題] 國一數學方程式 三人來回載送的效率問題
※ 引述《cyberlancer (Cyber)》之銘言：
: 1.年級：國一上下
: 2.科目：數學
: 3.章節：一元一次方程式、二元一次方程式
: 4.題目：
: 甲乙丙三人同時同地同向出發，往56公里外的目的地前進
: 甲騎腳踏車時速16公里，乙丙走路時速4公里
: 一開始甲載乙到半路放下乙，回頭去載丙
: 載到丙後朝目的地騎去，最後與乙三人一起到達終點
: (乙丙在沒有甲接送的時候皆以時速4公里前進)
: 求甲要載乙多少公里？
├───────┼──┤
A B C
設甲要載乙 x 公里，則需要花 x/16 時，丙已走 x/4 公里
此時甲跟丙距離 3x/4 公里遠，又甲、丙速率比為 1:4
所以甲需要回頭 (3x/4)*(4/5)=3x/5 才會遇到丙
又乙下來走的時間為 (56-x)/4 時，甲可騎 16*(56-x)/4 = 224-4x 公里遠
扣掉甲回頭的距離兩次後，跟乙所走的距離要相等來列式
224-4x-2*3x/5 = 56-x
224-26x/5 = 56-x
1120-26x=280-5x
840=21x
x=40
所以甲要載乙 40 公里遠
: 5.想法：這種題型以前在競賽題目上看過，原本題型是問「最短時間」
: 我想這敘述應該就是最有效率的吧... 因為沒人休息零蒸發零浪費
: 我是先以二元一次方程式解的，如圖：
: A：出發點
: A B B：甲放下乙的地方
: ├───┼─────┼───┤ C：甲接到丙的地方
: C D D：終點
: 設AB長x公里，BC長y公里
: A╱ x ╲B
: ├───┼─────┼───┤
: C╲ y ╱ D
: 當甲從A到B放下乙再回頭到C接丙，經過的時間恰為丙從A出發到C被甲碰上
: 列出： x+y x-y
: ─── ＝ ─── 化簡得 4x－4y ＝ x＋y
: 16 4 3x ＝ 5y ...(*1)
: 再來看乙被放下後走到終點這段
: A B╱56-x╲
: ├───┼─────┼───┤
: C╲ y ╱ D
: 乙被甲放下後從B走到D所經過的時間，甲恰從B走到C，再走到B，再走到D
: 列出： 56-x y + y + 56-x
: ─── ＝ ─────── 化簡得 224－4x ＝ 2y＋56－x
: 4 16 3x ＋ 2y ＝ 168 ...(*2)
: 解(*1)(*2)得 y＝24，x＝40
: 解是解出來了，但希望能用一元一次方程式解決
: 我有試著去列，但列了一大~~~陀出來 = =; 想尋求別的方法
: 這時注意到：乙被甲載了40公里，走了16公里，丙也是如此
: 暫時先用這性質來解(粗糙證明在後面)
: 設乙丙走了a公里，被甲載了(56-a)公里
: A：出發點
: A╱ 56-a ╲╱ a ╲ B：甲放下乙的地方
: ├───┼─────┼───┤ C：甲接到丙的地方
: C B D D：終點
: C
: A╱ 56-a ╲
: ├───┼─────┼───┤
: ╲ a ╱╲ 56-2a ╱B D
: 甲A→B→C 和 丙A→C 經過時間相同
: 列出： 56-a+56-2a a 整理得 112－3a ＝ 4a
: ───── ＝ ── a ＝ 16
: 16 4
: 這樣容易多了，但要怎麼跟學生講？難道說「要公平」就好嗎？XD
: 下面是我傷眼的證明：
: ====
: 全部距離 k 乙被載送時間 t
: 甲車速 a 乙走路時間 s
: 乙丙走速 b
: A：出發點
: A B B：甲放下乙的地方
: ├┼──┼─────┼┼──┤ C：甲接到丙的地方
: M C N D D：終點
: M：甲放下乙時，丙的位置
: N：甲接到丙時，乙的位置
: 甲從A到B花了t時間，距離AB是at，丙從A到M花的時間也是t，AM距離bt
: (a-b)
: BM距離是at－bt＝(a－b)t，甲丙相遇於C點花了─── t 的時間
: a+b
: (a-b) 2a
: 故丙從A到C花了 t ＋ ─── t ＝ ── t 的時間 ...(**1)
: a+b a+b
: 再看乙從B被放下後步行到D，當甲在C接起丙時，乙已走到N
: (a-b)
: 故乙從N走到D的時間是 s － ─── t 這也是甲載丙從C到D的時間
: a+b
: 對丙來說他步行+被載的距離為
: 2a (a-b)
: ── t * b ＋ ( s － ─── t ) * a ＝ k ...(**2)
: a+b a+b
: 對乙來說他被載+步行的距離為
: t * a ＋ s * b ＝ k ...(**3)
: 由(**2)和(**3)得
: 2a (a-b)
: ── t * b ＋ ( s － ─── t ) * a ＝ t * a ＋ s * b
: a+b a+b
: 2ab a^2-ab
: ── t ＋ as － ─── t ＝ at ＋ bs
: a+b a+b
: 2ab－a^2＋ab－a^2－ab
: ─────────── t ＝ (b－a) s
: a+b
: －2a^2＋2ab (a+b)(a-b)
: ────── t ＝ (b－a) s → t ＝ ───── s 且a-b≠0
: a+b 2a(a-b)
: a+b
: ＝ ── s 代回 (**1)
: 2a
: 2a 2a a+b
: 丙從A走到C花的時間是 ── t ＝ ───*─── s ＝ s
: a+b a+b 2a
: 故丙走路的時間和乙相同皆為s QED
: ====
: 求教更淺顯易懂的講法！
: 這種題型還有另一個載送多人版本
: 例如有甲乙丙丁戊5人，甲往返載送其他四人
: 也會用到「每人走路的距離都相同」，但我無法參透其中奧妙... QQ
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