[解題] 國一數學方程式三人來回載送的效率問題

看板tutor作者cyberlancer (Cyber)時間13年前 (2011/01/18 23:45)推噓1(1推 0噓 6→)

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1.年級：國一上下 2.科目：數學 3.章節：一元一次方程式、二元一次方程式 4.題目：甲乙丙三人同時同地同向出發，往56公里外的目的地前進甲騎腳踏車時速16公里，乙丙走路時速4公里一開始甲載乙到半路放下乙，回頭去載丙載到丙後朝目的地騎去，最後與乙三人一起到達終點 (乙丙在沒有甲接送的時候皆以時速4公里前進) 求甲要載乙多少公里？ 5.想法：這種題型以前在競賽題目上看過，原本題型是問「最短時間」我想這敘述應該就是最有效率的吧... 因為沒人休息零蒸發零浪費我是先以二元一次方程式解的，如圖： A：出發點 A B B：甲放下乙的地方 ├───┼─────┼───┤ C：甲接到丙的地方 C D D：終點設AB長x公里，BC長y公里 A╱ x ╲B ├───┼─────┼───┤ C╲ y ╱ D 當甲從A到B放下乙再回頭到C接丙，經過的時間恰為丙從A出發到C被甲碰上列出： x+y x-y ─── ＝ ─── 化簡得 4x－4y ＝ x＋y 16 4 3x ＝ 5y ...(*1) 再來看乙被放下後走到終點這段 A B╱56-x╲ ├───┼─────┼───┤ C╲ y ╱ D 乙被甲放下後從B走到D所經過的時間，甲恰從B走到C，再走到B，再走到D 列出： 56-x y + y + 56-x ─── ＝ ─────── 化簡得 224－4x ＝ 2y＋56－x 4 16 3x ＋ 2y ＝ 168 ...(*2) 解(*1)(*2)得 y＝24，x＝40 解是解出來了，但希望能用一元一次方程式解決我有試著去列，但列了一大~~~陀出來 = =; 想尋求別的方法這時注意到：乙被甲載了40公里，走了16公里，丙也是如此暫時先用這性質來解(粗糙證明在後面) 設乙丙走了a公里，被甲載了(56-a)公里 A：出發點 A╱ 56-a ╲╱ a ╲ B：甲放下乙的地方 ├───┼─────┼───┤ C：甲接到丙的地方 C B D D：終點 C A╱ 56-a ╲ ├───┼─────┼───┤ ╲ a ╱╲ 56-2a ╱B D 甲A→B→C 和丙A→C 經過時間相同列出： 56-a+56-2a a 整理得 112－3a ＝ 4a ───── ＝ ── a ＝ 16 16 4 這樣容易多了，但要怎麼跟學生講？難道說「要公平」就好嗎？XD 下面是我傷眼的證明： ==== 全部距離 k 乙被載送時間 t 甲車速 a 乙走路時間 s 乙丙走速 b A：出發點 A B B：甲放下乙的地方 ├┼──┼─────┼┼──┤ C：甲接到丙的地方 M C N D D：終點 M：甲放下乙時，丙的位置 N：甲接到丙時，乙的位置甲從A到B花了t時間，距離AB是at，丙從A到M花的時間也是t，AM距離bt (a-b) BM距離是at－bt＝(a－b)t，甲丙相遇於C點花了─── t 的時間 a+b (a-b) 2a 故丙從A到C花了 t ＋ ─── t ＝ ── t 的時間 ...(**1) a+b a+b 再看乙從B被放下後步行到D，當甲在C接起丙時，乙已走到N (a-b) 故乙從N走到D的時間是 s － ─── t 這也是甲載丙從C到D的時間 a+b 對丙來說他步行+被載的距離為 2a (a-b) ── t * b ＋ ( s － ─── t ) * a ＝ k ...(**2) a+b a+b 對乙來說他被載+步行的距離為 t * a ＋ s * b ＝ k ...(**3) 由(**2)和(**3)得 2a (a-b) ── t * b ＋ ( s － ─── t ) * a ＝ t * a ＋ s * b a+b a+b 2ab a^2-ab ── t ＋ as － ─── t ＝ at ＋ bs a+b a+b 2ab－a^2＋ab－a^2－ab ─────────── t ＝ (b－a) s a+b －2a^2＋2ab (a+b)(a-b) ────── t ＝ (b－a) s → t ＝ ───── s 且a-b≠0 a+b 2a(a-b) a+b ＝ ── s 代回 (**1) 2a 2a 2a a+b 丙從A走到C花的時間是 ── t ＝ ───*─── s ＝ s a+b a+b 2a 故丙走路的時間和乙相同皆為s QED ==== 求教更淺顯易懂的講法！這種題型還有另一個載送多人版本例如有甲乙丙丁戊5人，甲往返載送其他四人也會用到「每人走路的距離都相同」，但我無法參透其中奧妙... QQ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.172.246.237 ※ 編輯: cyberlancer 來自: 218.172.246.237 (01/18 23:48)

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gwendless

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gwendless

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theoculus

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