Re: [教戰] 複雜的數學邏輯該如何解釋(高一餘式定理)
※ 引述《DKer ()》之銘言：
: 昨天學生問了一題關於餘式定理的問題
: 雖然我解出來了，但是在解釋解題過程的時候卻遇到了瓶頸
: 學生無法理解我是如何看見這個解題路徑的
: 於是來請教各位，是否有深入簡出的解釋方式
: 題目如下：
: 已知 f(x)除以x^2+2x+3的餘式為x+12 ; f(x)除以x+1的餘式為-1
: 問f(x)除以(x+1)(x^2+2x+3)的餘式為何?
: 講義上的解答是直接令f(x)=(x+1)(x^2+2x+3)Q(x) + k(x^2+2x+3) + (x+12)
: 之後用餘式定理f(-1)=-1解出k
: 但並沒有解釋這樣假設的原因，我直接看也看不出理由
: 又不希望學生硬背這解題方式，試著推導過程，但學生的接受程度並不高
: 以下是我的講解方式：
: 先將第一個條件寫為: f(x) = (x^2+2x+3)Q1(x) + (x+12)
: 再觀察最後題目需要的目標: f(x) = (x+1)(x^2+2x+3)Q2(x) + r1(x)
: 比較之後發現，把Q1(x)拆解成含有(x+1)的式子就跟目標很像
: 於是拆解 Q1(x) = (x+1)Q3(x) + r2(x) 代回式中得
: f(x) = (x^2+2x+3)[(x+1)Q3(x)+r2(x)] + (x+12)
: 整理得 f(x) = (x+1)(x^2+2x+3)Q3(x) + (x^2+2x+3)r2(x) + (x+12)
: 除式為3次，因此餘式的黃色部份最高2次，得知r2(x)為常數
: 到此為止就推得了講義上的假設
: 我的學生算是中等資質，這樣複雜的推導過程讓他很難吸收
: 請問各位老師有沒有更容易了解的說明方式
: 感謝您耐心地閱讀 拜謝m( _ _)m
這個部份在綜合除法的應用 以一多項式表另一多項式時就可以順便推導
第一種 如把三次多項式f(x)表成a(x-1)^3 + b(x-1)^2 + c(x-1) + d
第二種 如把三次多項式f(x)表成a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d
雖然第二種大部分參考書或講義解題是以待定係數法求出abcd
但我都以連續綜合除法推導 其實第二種也是新課鋼的牛頓插值式
然後餘式定理的題目有一種很重要的題型就是以牛頓式假設餘式
EX1 f(x) 除以x-1餘3 f(x)除以x-2餘5
求f(x)除以(x-1)(x-2)之餘式
EX2 f(x) 除以x-1餘3 f(x)除以x-2餘5 f(x)除以x-3餘7
求f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)之餘式
EX3 就是原PO所問的部份
f(x)除以x^2+2x+3的餘式為x+12 ; f(x)除以x+1的餘式為-1
求f(x)除以(x+1)(x^2+2x+3)的餘式
第一題 大部分都是假設f(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b (這種我也說)
但是我卻要求學生假設f(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + a(x-1) + 3
第二題 我看過的講義或參考書 兩種假設法各半
f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)Q(x) + ax^2 + bx + c (要解聯立 較麻煩)
f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ a(x-1)(x-2) + b(x-1) + 3 (我要求使用這種)
做這種要求 是因為還有很多題型變化需要這種假設餘式的方法 較容易解題
第三題 學生就能"比較自然地"接受假設
f(x) = (x+1)(x^2+2x+3)Q(x) + a(x^2+2x+3) + (x+12)
其實我是按照順序講下面三種解法
f(x) = (x+1)(x^2+2x+3)Q(x) + ax^2 + bx + c
f(x) = (x+1)(x^2+2x+3)Q(x) + (x+1)(ax+b) + (-1)
f(x) = (x+1)(x^2+2x+3)Q(x) + a(x^2+2x+3) + (x+12)
程度中等的學生 其實教學上還是有各種比較細節的問題
再針對學生狀況去解決就好了
程度好的學生 甚至如x^74 除以x^3 + 2x^2 + 2x + 1這種題目他們都可以輕鬆解出來
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