Re: [教戰] 複雜的數學邏輯該如何解釋(高一餘式定理)
※ 引述《DKer ()》之銘言：
: 昨天學生問了一題關於餘式定理的問題
: 雖然我解出來了，但是在解釋解題過程的時候卻遇到了瓶頸
: 學生無法理解我是如何看見這個解題路徑的
: 於是來請教各位，是否有深入簡出的解釋方式
: 題目如下：
: 已知 f(x)除以x^2+2x+3的餘式為x+12 ; f(x)除以x+1的餘式為-1
: 問f(x)除以(x+1)(x^2+2x+3)的餘式為何?
我自己的習慣是, 從除法算則開始處理
因為 f(x) / g(x) = q(x) ... r(x) 的定義是
f(x) = g(x) q(x) + r(x), deg r(x) < deg g(x)
所以不要想太多, 就當成翻譯題
f(x)除以x^2+2x+3的餘式為x+12
=> f(x) = (x^2 + 2x + 3) q1(x) + x + 12
f(x)除以x+1的餘式為-1
=> f(x) = (x + 1) q2(x) - 1
所以說
f(x)除以(x+1)(x^2+2x+3)的餘式為何?
設餘式是 r(x), 就表示 r(x) 可能是 2 次、1 次、0 次
f(x) = (x + 1)(x^2 + 2x + 3) q3(x) + r(x)
不過, 不管有幾次, f(x) 除以 (x^2 + 2x + 3) 的餘式 x + 12 一定是來自 r(x)
因為 (x + 1)(x^2 + 2x + 3) q3(x) 一定會被 (x^2 + 2x + 3) 整除
所以 r(x) = (x^2 + 2x + 3) q4(x) + x + 12
不過, q4(x) 最多也只是 0 次, 所以 q4(x) 可以設成常數 a
=> r(x) = a(x^2 + 2x + 3) + x + 12
所以將 r(x) 代回去
=> f(x) = (x + 1)(x^2 + 2x + 3) q3(x) + a(x^2 + 2x + 3) + x + 12
這時候, 我們會發現
f(x) = (x + 1)(x^2 + 2x + 3) q3(x) + a(x^2 + 2x + 3) + x + 12
= (x + 1) q2(x) - 1
將 x 用 -1 代入
f(-1) = ((-1) + 1)((-1)^2 + 2 * (-1) + 3) q3(-1) + a((-1)^2 + 2 * (-1) + 3) +
(-1) + 12
= ((-1) + 1) q2(-1) -1
可以得到
a(1 - 2 + 3) + 11 = -1
2a = -12 => a = -6
所以 r(x) = -6(x^2 + 2x + 3) + x + 12
= -6x^2 - 11x - 6
: 講義上的解答是直接令f(x)=(x+1)(x^2+2x+3)Q(x) + k(x^2+2x+3) + (x+12)
: 之後用餘式定理f(-1)=-1解出k
: 但並沒有解釋這樣假設的原因，我直接看也看不出理由
: 又不希望學生硬背這解題方式，試著推導過程，但學生的接受程度並不高
: 以下是我的講解方式：
: 先將第一個條件寫為: f(x) = (x^2+2x+3)Q1(x) + (x+12)
: 再觀察最後題目需要的目標: f(x) = (x+1)(x^2+2x+3)Q2(x) + r1(x)
: 比較之後發現，把Q1(x)拆解成含有(x+1)的式子就跟目標很像
: 於是拆解 Q1(x) = (x+1)Q3(x) + r2(x) 代回式中得
: f(x) = (x^2+2x+3)[(x+1)Q3(x)+r2(x)] + (x+12)
: 整理得 f(x) = (x+1)(x^2+2x+3)Q3x + (x^2+2x+3)r2(x) + (x+12)
: 除式為3次，因此餘式的黃色部份最高2次，得知r2(x)為常數
: 到此為止就推得了講義上的假設
: 我的學生算是中等資質，這樣複雜的推導過程讓他很難吸收
: 請問各位老師有沒有更容易了解的說明方式
: 感謝您耐心地閱讀 拜謝m( _ _)m
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