Re: [解題] 高二 數學 圓錐曲線
※ 引述《AIKobeLBJ (三大戰神)》之銘言：
: 題目：
: 二元二次方程式 ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
: 可根據判別式b^2-4ac來判斷其為什麼圖形
: <0 : 橢圓類
: =0 : 拋物線類
: >0 : 雙曲線類
: 請問為何判別式是b^2-4ac?
: 又為何<0為橢圓, =0為拋物線, >0為雙曲線?
: 想法：
: 若為一元二次方程式ax^2+bx+c=0,
: 可得 x= (-b ±√b^2-4ac ) / 2a ,
: b^2-4ac在√裡面, 可以拿來當判別式,
: 把解分類為兩解,一解,無解,
: 不過若是二元二次要怎麼解釋判別式是b^-4ac呢?
: 也是把它配成有√b^2-4ac嗎?
: 另, 一元二次可解釋為與x軸(y=0)相交的情形,
: 分為兩點,一點,沒交點,
: 二元二次要怎麼解釋它的分類呢?
: 謝謝~
用寫的比較好觀察
關於ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 的研究
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 取a>0
先直接就X配方
=> a[x+(by+d)/2]^2+cy^2+ey+f-(by+d)^2/4a=0
=> (2ax+by+d)^2+(4ac-b^2)y^2+(4ae-2bd)y+(4af-d^2)=0
從這邊就看出來了 b^-4ac<0 : 橢圓類
=0 : 拋物線類
>0 : 雙曲線類
令P=4ac-b^2 Q=4ae-2bd R=4af-d^2
原式 (2ax+by+d)^2+Py^2+Qy+R=0
(2ax+by+d)^2+P(y+Q/2P)^2=(Q^2-4PR)/4p
其中(Q^2-4PR)=0 時後表退化
Q^2-4PR=(4ae-2bd)^2-4(4ac-b^2)(4af-d^2)
=-8a(8acf+2bde-2cd^2-2ae^2-2fb^2)
=-8a| 2a b d | 令δ=| 2a b d |
| b 2c e | | b 2c e |
| d e 2f | | d e 2f | 一個對稱行列式
這個行列式是第二個判別式 用來判別退化嗎?
還有最後一個判別是T用來判別拋物線的
P=0
原式 (2ax+by+d)^2+(4ae-2bd)y+(4af-d^2)=0
當4ae-2bd=0 表退化圖形
4af-d^2<0 表兩平行線
=0 表一直線
>0 表空集合
原則上就是這樣 符號有錯的話自己推導一下 我怕輸入的時候輸入錯 謝謝
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