Re: [解題] 高一數學三角函數
※ 引述《cookie4 (水滴兒)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：第三章三角函數
: 4.題目：
: 設α、β為銳角，tanα、tanβ是二次方程式x^2-9x+1=0的兩個根
: 求sinα+sinβ=?
: 5.想法：
: tanα+tanβ=9
: tanαxtanβ=1
: sinα/cosα+sinβ/cosβ=9
: (sinαcosβ+sinβcosα) /cosαcosβ=9
: 然後就卡住了
: 不知道要怎麼代出答案來
: 麻煩大家幫幫忙了
首先x^2-9x+1=0
之解為x=(9 (+-) 77^0.5 ) /2 >0
為兩相異正實根
所以tanα不等於tanβ
且tanα tanβ皆大於零
結論:
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已知
tanα不等於tanβ
圖形又位在第一象限(銳角)
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今將tanα和tanβ分別代入(x^2-9x+1=0)
得到:
(tanα)^2-9tanα+1=0
(tanβ)^2-9tanβ+1=0
已知 1+tan^2=sex^2
所以上式化簡為
(secα)^2=9tanα
(secβ)^2=9tanβ
可再整理成
sinα*cosα=(1/9)
sinβ*cosβ=(1/9)
可再整理成
sin2α=2/9
sin2β=2/9
得到sin2α=sin2β之結論
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討論:
到目前為止α,β必需滿足以下條件
1.tanα不等於tanβ
2.sin2α等於sin2β
3.銳角定義:0<α,β<90度
所以唯一滿足上述三點的解是
2β=180-2α
但是α不等於β
於是得到α+β=90之結論 .......(1)
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已知sinα+sinβ= 2sin [(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
(α+β)/2已經可以由(1)破解了
所以必需想辦法破解(α-β)/2才行
已知
sin2α=2/9
sin2β=2/9
所以sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos[(α-β)]=4/9
由(1)知sin(α+β)=sin90度=1
所以cos[(α-β)]=2/9
再由兩倍角公式知
2/9=cos[α-β]=2cos[(α-β)/2]^2-1
得到cos[(α-β)/2]= +-(11/18)^0.5.........(2)
(2)的負不合 想一下為什麼:)
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最後
開始解原命題sinα+sinβ了
已知sinα+sinβ= 2sin [(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
由(1) (2)代入知
sinα+sinβ=2(sin45)* (11/18)^0.5=11^0.5/3
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真的超難
已修正POLAN指出的錯誤
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※ 編輯: evi1ufox 來自: 140.112.5.38 (08/09 19:56)
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08/09 23:16, , 1F
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08/10 01:50, , 2F
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討論串 (同標題文章)