Re: [解題] 高一 數學 三角函數
※ 引述《asasdf (spiderman)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：三角函數
: 4.題目：三角形ABC
: 角A,角B,角C 的對邊長度分別是 a,b,c
: 其中2b=a+c
: 求tan(A/2)*tan(C/2)=?
果然是要用正弦定理XD
=> 2 * sinB = sinA + sinC
=> 2 * sin(A+C) = sinA + sinC
=> 2 * sinA*cosC + 2 * cosA*sinC = sinA + sinC
=> 2 * [2*sin(A/2)*cos(A/2)] * [cos^2(C/2)-sin^2(C/2)]
+ 2 * [cos^2(A/2)-sin^2(A/2)] * [2*sin(C/2)*cos(C/2)]
= 2*sin(A/2)*cos(A/2) + 2*sin(C/2)*cos(C/2)
∵A/2與C/2均不可能為90度
∴cos(A/2)*cos(C/2)必不為0
∴可兩邊同除 2*cos^2(A/2)*cos^2(C/2)
=> 2 * tan(A/2) * [1 - tan^2(C/2)]
+ 2 * [1 - tan^2(A/2)] * tan(C/2)
= tan(A/2)/cos^2(C/2) + tan(C/2)/cos^2(A/2)
問題出在這 剛剛少了兩個分母XD
= tan(A/2) * [1+tan^2(C/2)] + tan(C/2) * [1+tan^2(A/2)]
令tan(A/2) = x
tan(C/2) = y
=> 2x(1-y^2) + 2(1-x^2)y = x(1+y^2) + y(1+x^2)
2x - 2x(y^2) + 2y - 2(x^2)y = x + x(y^2) + y + (x^2)y
=> x + y = 3xy(x + y)
∵ 0度 < A/2, C/2 < 90度
∴ tan(A/2) + tan(C/2) ≠ 0
∴可同除(x+y)
=> tan(A/2)*tan(C/2) = xy = 1/3
: 5.想法：看到題目一開始我的想法是...
: step1:用餘弦定理求出cosA及cosC(其中代入2b=a+c的條件)
: step2:然後再求出cos(A/2)及cos(C/2)
: step3:然後再求出tan(A/2)及tan(C/2)
: 可是...在step1就發現式子好複雜 囧
: 看來這題不是這樣做的@@ 還是我化簡式子的技巧太差呢@@?
: 煩請高手解答...謝謝!!!
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