Re: [解題] 國中數學
※ 引述《yonex (戴奧尼索斯)》之銘言：
: ※ 引述《humid0104 (小沙)》之銘言：
: : 不好意思請問一下~~~有點小忘記了~~
: : 如果有一個數除以三餘一~~除以五餘二~~除以七餘三~~
: : 那請問這個數的最小數為多少呀~~
: : 請問有什麼方法解呢~~如果用代數也解的出來嗎~~
: : 不好意思~`請高手幫忙解答一下~~謝謝
: from the proposition,
: we assume "x" is the smallest positive integer such that
: x≡1（mod3）
: x≡2（mod5）
: x≡3（mod7）
: 3、5、7 are coprime each other，by Chinese remainder thm.
: this linear system has the unique solution
: use Euclidean Algorithm，we can find x as follows
: x≡(1*70＋2*21＋3*15)(mod105)≡52(mod105)
: the answer is 52
如果你題目改成餘數為 1、3、5，或是 2、2、2 這一類，
那麼還勉強算的上國中問題（應該是高一）
因為你餘數是1、2、3，所以難度三級跳
此為數論(number theory)裡的「不定方程問題」(indeterminate eq.)
沒有一些初等數論訓練的學生，
這一題仍然可以使用線性代數的立場來看待
x＝3u+r_1
x＝5v+r_2
x＝7w+r_3
以代數觀點而言，這樣的餘數，無法經由變數變換化為齊性線性方程
（如果是1、3、5，或是 2、2、2 這一類，就可以，答案幾乎目視可得）
而要解「特解」與「齊性解」所建構通解，（中學生並沒有這樣的數學概念）
通解當然有無窮多組，
但因為限制在mod105下的最小整數，所以解唯一
This is the content of Chinese remainder thm.,but i express by L.A.
define "L" is a linear operation
L(x)＝[r_1,r_2,r_3]^T
this is nonhomogenous linear system
solve L(x)＝[1,0,0] this is the homogenous sol.
we have x_0＝105n (n is integer)
now we have to find particular sol.
x_p＝70r_1＋21r_2＋15r_3
general sol. is the linear superposition of x_0 and x_p
x＝70r_1＋21r_2＋15r_3＋105n (n is integer)
input [r_1,r_2,r_3]＝[1,2,3] and we confine x is smallest positive integer
so take n＝-1
x＝70*1+21*2+15*3－105＝52
這種數論問題，古時候叫「鬼谷算」，或是「大衍求一術」
解的唯一性是根據著名的「中國剩餘定理」
這篇文章的價值在於，揭示此問題與線性代數核心理論間，具有的細膩關聯性
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※ 編輯: yonex 來自: 211.74.7.117 (11/12 21:56)
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