Re: [解題] 國中數學
※ 引述《EmaSH (Ema 婷*~~)》之銘言：
: 0.1999.....=0.2000000
: 小朋友問 明明是看起來不一樣的數 為什麼會相等?
: 另外 何種有理數具有此種性質呢? why?
: 很簡單的問題 可是卻不知道該怎麼跟小朋友解釋
這題嚴格說來，是一個大學觀念，
基本上， 0.1999... 本質上是一個無窮級數，無窮級數眾所周知定義成
部分和的極限值。
n 9 [1-(1/10)^(n+1)]
即 S_n = 0.1 + (9/100)Σ(1/10)^k = 0.1 + ----------------------
k=0 100 [1-(1/10)]
的極限值。
∞
因為定理：實數數列 {r^n} 在 -1< r < 1 時收斂，故此級數收斂。
n=1 =
特別小心的是，一般用令 x = 0.1999...，然後 10x = 1.9999...再相減的說法。
其理論事實上是建立在 {S_n} 收斂至 S 的基礎上，才有 {c S_n} 收斂至 cS。
這個問題說明了一件事，數線上的點直覺上都可以用小數去近似，
點的存在性依賴於實數的完備性，同一個點可以用不同的小數數列作逼近，但是
「兩個不同的實數列可以有相同的最小上界」，此最小上界刻畫了點的概念。
此說法有以下定理「對任意實數 x ，存在有理數列 r_n 使 r_n < x < r_n + (1/10)^n」
=
支持，而此定理的另一個形式是將 < 和 < 符號的位置互換。
=
則同樣是 1/8 就有 0.125 和 0.124999... 兩種表示法，但最小上界都是 0.125。
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